從 11^30 mod 100 走進抽象代數
兩道高中數學題——11^30 mod 100 和 x^40 mod (x+1)^2——用同一個技巧解決。把這個技巧說清楚，就走進了抽象代數的核心：商環與冪零元。
我在教高中數學的時候，遇到了這兩道題：
題目一： $11^{30}$ 除以 $100$ 的餘數是多少？
題目二： $x^{40}$ 除以 $(x+1)^2$ 的餘式為何？
兩題乍看沒關係。但我發現，用同一個招數——二項式定理——就可以解決。
解題當下覺得「巧合」，回頭一想，才發現這不是巧合，而是背後有同一套代數結構在運作。
解題：兩題用同一招
題目一
\[11^{30} \bmod 100\]關鍵：把 $11$ 改寫成「簡單的 $+$ 小東西」：
\[11 = 1 + 10\]二項式展開：
\[11^{30} = (1+10)^{30} = \sum_{k=0}^{30}\binom{30}{k}10^k = 1 + 300 + \binom{30}{2}\cdot 100 + \cdots\]從 $k = 2$ 開始，每一項都含 $10^2 = 100$，在 mod $100$ 下全部消失。
只剩：
\[11^{30} \equiv 1 + 30 \times 10 = 301 \equiv 1 \pmod{100}\]題目二
\[x^{40} \bmod (x+1)^2\]同樣把 $x$ 改寫：
\[x = -1 + (x+1)\]令 $n = x+1$，二項式展開：
\[x^{40} = (-1+n)^{40} = \sum_{k=0}^{40}\binom{40}{k}(-1)^{40-k}n^k\]從 $k = 2$ 開始，每項都含 $(x+1)^2$，在 mod $(x+1)^2$ 下消失。
只剩 $k = 0, 1$：
\[x^{40} \equiv (-1)^{40} + 40(-1)^{39}(x+1) = 1 - 40(x+1) = -40x - 39 \pmod{(x+1)^2}\]為什麼兩題用同一招？
兩題的結構完全一樣：
- 把東西改寫成「基準值 $+$ 小量」
- 二項式展開
- 小量的平方以上，全部消失
消失的原因不同：第一題消失是因為 $10^2 = 100 \equiv 0 \pmod{100}$；第二題消失是因為 $(x+1)^2 \equiv 0 \pmod{(x+1)^2}$。
但本質是同一件事：在這個「除法的世界」裡，有某個元素的平方等於零。
這種元素有個名字：冪零元（nilpotent element）。
冪零元
定義： 在某個代數結構裡，如果元素 $n$ 滿足 $n^k = 0$（對某個正整數 $k$），就稱它是冪零元。
兩道題裡的冪零元：
| 題目 | 世界 | 冪零元 $n$ | $n^2 = 0$ 的原因 |
|---|---|---|---|
| $11^{30} \bmod 100$ | mod $100$ 的整數 | $n = 10$ | $10^2 = 100 \equiv 0$ |
| $x^{40} \bmod (x+1)^2$ | mod $(x+1)^2$ 的多項式 | $n = x+1$ | $(x+1)^2 \equiv 0$ |
一旦你知道有冪零元，二項式展開就會「截斷」——從某項開始全部歸零，結果只剩有限項。
這就是為什麼二項式定理在這裡如此好用：模算術決定哪些項會消失，二項式定理負責把所有項展開列出來。
這兩個「世界」是什麼？
數學上，我們說：這兩道題是在不同的環（ring）裡運算。
「環」是一個集合，配上加法和乘法，滿足：
- 加法構成交換群（可加可減）
- 乘法有結合律，有乘法單位元
- 乘法對加法有分配律
整數 $\mathbb{Z}$、實係數多項式 $\mathbb{R}[x]$、$n \times n$ 矩陣，全部都是環。
題目一是在 $\mathbb{Z}$，題目二是在 $\mathbb{R}[x]$。
但我們還做了一件事：把某個元素「當成 0」，從而得到一個更小的環。這個操作叫做商環（quotient ring）。
商環：把某些東西當成零
題目一的世界
\[\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}\]把所有「差 $100$ 的倍數」的整數視為相同。$0, 100, 200, \ldots$ 全部等同於 $0$；$1, 101, 201, \ldots$ 全部等同於 $1$。
在這個世界裡，$10^2 = 100 = 0$。
題目二的世界
\[\mathbb{R}[x]\big/\big((x+1)^2\big)\]把所有「差 $(x+1)^2$ 的倍數」的多項式視為相同。$(x+1)^2, 2(x+1)^2, \ldots$ 全部等同於 $0$。
在這個世界裡，$(x+1)^2 = 0$。
兩者的構造方式完全平行。
更深的一層：理想
商環是「把某些東西當成零」，但「哪些東西」不能隨便選。
必須選一個理想（ideal）——直觀上是「能被整個環吸收」的子集合：
子集合 $I \subseteq R$ 是理想，如果：對任意 $a \in I$ 和任意 $r \in R$，都有 $ra \in I$（乘上任何元素還在 $I$ 裡）。
題目一：$I = 100\mathbb{Z} = {\ldots, -200, -100, 0, 100, 200, \ldots}$。任意整數乘以 $100$ 的倍數，還是 $100$ 的倍數。✓
題目二：$I = \big((x+1)^2\big)$，即 $(x+1)^2$ 的所有多項式倍數。任意多項式乘以 $(x+1)^2$ 的倍數，還是 $(x+1)^2$ 的倍數。✓
「當成零」的東西必須是理想，商環才有良好的代數性質（加法乘法定義自洽）。
一個意外的連結：泰勒展開
注意這個抽象代數的模式：
\[(a + n)^k = a^k + ka^{k-1}n + \underbrace{\binom{k}{2}a^{k-2}n^2 + \cdots}_{n^2 = 0, \text{ 全消}} = a^k + ka^{k-1}n\]這和微積分裡的一階近似長得一樣：
\[f(a + h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h \quad \text{（忽略 } h^2 \text{ 以上的項）}\]| 微積分 | 抽象代數 |
|---|---|
| $h$ 非常小 | $n^2 = 0$ |
| 忽略高階項 | 高次冪等於零 |
| 泰勒展開的一階近似 | 二項式展開的截斷 |
分析（analysis）和代數（algebra）在這裡說的其實是同一件事，只是語言不同。
小結
這兩道高中題的解法，其實包含了代數學的一個核心結構：
- 把計算放在特定的環裡（整數 mod $100$，多項式 mod $(x+1)^2$）
- 辨識出冪零元（某個元素的高次冪為零）
- 用二項式定理展開，冪零元讓高次項自動消失
這個結構在數學裡反覆出現：從模運算、多項式除法，到微分幾何的對偶數（dual numbers），到量子力學的算符代數，都是同樣的邏輯。
如果你發現解某道題時用了「某個數的平方是零」，或「寫成基準值加小量再展開」——你大概已經在無意識地使用抽象代數了。
→ 歡迎預約家教課，直接針對你的問題討論