泛函是什麼？從函數到變分法的第一步

\[\require{physics}\]

微積分還不夠

學完微積分，你已經知道如何找極值：令 $f’(x) = 0$，解出讓函數值最大或最小的數字 $x^*$。

但有些問題的答案不是一個數字，而是一條曲線的形狀：

• 重力場中從 $A$ 到 $B$，讓鋼珠滑行時間最短的軌道是什麼形狀？
• 兩端固定的鏈條，在重力下自然懸掛成哪條曲線？
• 在所有連接兩點的曲線中，哪一條最短？（你當然猜得到答案，但能否用方程式推出來？）

這些問題的共同結構是：在所有可能的函數（即曲線）中，找出讓某個量（時間、位能、弧長）極值的那一條。

這正是變分法（calculus of variations）與泛函（functional）的用武之地。

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泛函：吃函數、吐數字

普通函數把一個數映射到另一個數，例如 $f(x) = x^2$ 吃數字 $x$，吐出 $x^2$。

泛函把一整條函數映射到一個數，標準形式為：

\[J[y] = \int_a^b F\!\left(x,\, y(x),\, y'(x)\right)\dd{x}\]

它吃進整條曲線 $y(x)$，吐出一個數字。記號慣例用方括號 $J[y]$（輸入是函數），與一般函數的圓括號 $f(x)$（輸入是數字）做區分。

兩個具體例子：

弧長泛函：

\[J[y] = \int_a^b \sqrt{1 + y'(x)^2}\,\dd{x}\]

吃進一條曲線，吐出它的弧長。

作用量泛函（拉格朗日力學）：

\[S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t)\,\dd{t}\]

吃進一條粒子軌跡 $q(t)$，吐出作用量（動能減位能的時間積分）。

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問題設定

變分法的核心問題：在所有滿足邊界條件

\[y(a) = y_A,\qquad y(b) = y_B\]

的函數 $y(x)$ 中，找使 $J[y]$ 取極值的那一條 $y^*(x)$。

與普通微積分的對照：

	普通微積分	變分法
極值化的對象	數字 $x$	函數 $y(x)$
極值條件	$f’(x^*)=0$	Euler–Lagrange 方程式
輸出（泛函/函數的值）	數字	數字

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推導：第一變分與 Euler–Lagrange 方程式

引入擾動

設 $y^*(x)$ 是極值函數。對它施加微小擾動 $\varepsilon\eta(x)$：

\[y_\varepsilon(x) = y^*(x) + \varepsilon\,\eta(x)\]

其中 $\eta(x)$ 是任意光滑函數，端點不動要求

\[\eta(a) = \eta(b) = 0\]

把 $y_\varepsilon$ 代入泛函，得到關於 $\varepsilon$ 的普通函數：

\[\varphi(\varepsilon) = J[y_\varepsilon] = \int_a^b F(x,\, y^* + \varepsilon\eta,\, y^{*\prime} + \varepsilon\eta')\,\dd{x}\]

極值條件等價於 $\varphi’(0) = 0$。

計算 $\varphi’(0)$

對 $\varepsilon$ 微分並令 $\varepsilon = 0$：

\[\varphi'(0) = \int_a^b \left(\pdv{F}{y}\cdot\eta + \pdv{F}{y'}\cdot\eta'\right)\dd{x}\]

對第二項做分部積分，令 $u = \pdv*{F}{y’}$，$\dd{v} = \eta’\,\dd{x}$：

\[\int_a^b \pdv{F}{y'}\cdot\eta'\,\dd{x} = \underbrace{\left[\pdv{F}{y'}\cdot\eta\right]_a^b}_{=\,0 \text{（端點條件）}} - \int_a^b \dv{}{x}\!\left(\pdv{F}{y'}\right)\cdot\eta\,\dd{x}\]

代回：

\[\varphi'(0) = \int_a^b \left[\pdv{F}{y} - \dv{}{x}\!\left(\pdv{F}{y'}\right)\right]\eta\,\dd{x} = 0\]

Euler–Lagrange 方程式

由於 $\eta(x)$ 是任意光滑函數，上面積分恆為零意味著被積函數本身為零（變分引理）：

\[\boxed{\pdv{F}{y} - \dv{}{x}\!\left(\pdv{F}{y'}\right) = 0}\]

這就是 Euler–Lagrange 方程式。解它，就能找出使泛函極值的函數 $y^*(x)$。

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例一：兩點之間最短路徑

連接兩定點的弧長泛函：

\[J[y] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + y'^2}\,\dd{x}\]

此處 $F = \sqrt{1+y’^2}$，與 $y$ 無關，所以 $\pdv{F}{y} = 0$。Euler–Lagrange 方程式化為：

\[\dv{}{x}\!\left(\pdv{F}{y'}\right) = 0 \;\Rightarrow\; \pdv{F}{y'} = \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} = C\text{（常數）}\]

解得 $y’ = \text{常數}$，即

\[y = mx + b\]

兩點間最短路徑是直線——答案早在直覺中，但現在被嚴格推出。

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例二：最速降線——答案是擺線

問題（Brachistochrone）：重力場中，從 $A$ 到 $B$（$B$ 在 $A$ 右下方），什麼形狀的無摩擦軌道讓鋼珠滑行時間最短？

取 $y$ 軸向下為正，由能量守恆得高度 $y$ 處的速率為 $\sqrt{2gy}$。沿曲線的滑行時間：

\[T[y] = \int_0^{x_B}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}\,\dd{x}\]

被積函數 $F$ 不顯含 $x$，可用 Beltrami 恆等式（E-L 的積分形式），最終解為擺線（cycloid）：

\[x = R(\theta - \sin\theta),\qquad y = R(1-\cos\theta)\]

這是 1696 年 Johann Bernoulli 提出的挑戰題。牛頓、萊布尼茲、Jacob Bernoulli 等人次年各自獨立解出——據傳牛頓在收到題目的同一個晚上就解完了。

直覺上為什麼不是直線？鋼珠需要先快速獲得速度（讓後段的水平行進更快），然後再往右滑。擺線在起點附近比直線更陡，正是為了「先加速，後行進」。

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物理應用：費馬原理與最小作用量

變分法是整個理論物理的基礎語言。

費馬光學原理：光走讓光程 $\displaystyle\int n\,\dd{s}$ 極值（通常是最短）的路徑。折射定律（Snell’s law）

\[n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\]

可由此直接推導——光「選擇」彎折路徑，正是因為這樣光程最短。

最小作用量原理：物理系統的真實運動軌跡 $q(t)$ 使作用量

\[S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t)\,\dd{t}\]

取極值。取 $L = T - V$（動能 $-$ 位能），Euler–Lagrange 方程式直接給出牛頓第二定律。換任何廣義座標，方程式形式不變，這正是拉格朗日力學相比牛頓力學的最大優勢。

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統整

概念	對應	說明
泛函 $J[y]$	函數 $f(x)$	以整條函數為輸入，輸出一個數
第一變分 $\delta J = 0$	導數條件 $f’=0$	泛函極值的必要條件
Euler–Lagrange 方程式	$f’(x^*)=0$	解它即得極值函數
擺線（Brachistochrone）	普通極值點	最速降線的解
作用量 $S[q]$	能量函數	拉格朗日力學的泛函

學習路線：泛函 $\to$ 第一變分 $\to$ Euler–Lagrange $\to$ 拉格朗日力學 $\to$ 費曼路徑積分。每一步都是「升一個抽象層次，換來更強的一般性」。