托里切利定律與排水時間：微積分如何預測水位下降？
水從容器小孔流出的速率等於從水面自由落下到孔口的速率——這是托里切利定律。本文從白努利方程式推導 v = sqrt(2gh)，再建立排水 ODE，並完整計算圓柱形水槽與半球碗的排空時間，展示微積分如何預測動態水位變化。
水桶底部開了一個洞
在水桶底部鑽一個小洞，水從洞口噴出的速率是多少？
托里切利（Evangelista Torricelli）在 1643 年給出一個令人驚訝的答案：水從洞口噴出的速率，恰好等於一滴水從水面自由落下到洞口時的速率。
\[v = \sqrt{2gh}\]其中 $h$ 是水面到洞口的垂直高度。把 $h = 10\,\text{m}$ 代入，出流速率約 $14\,\text{m/s}$——幾乎等同快速球的球速。
但更有趣的問題是：把整桶水排空需要多久？ 這需要微積分。
直覺：兩端壓力抵消，剩下位能
為什麼出流速率等同自由落體？關鍵在能量結構。
取液面（上方）與小孔出口（下方）兩個位置，白努利方程式描述同一條流線上的能量守恆：
\[P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{常數}\]- 液面：壓力為大氣壓 $P_\text{atm}$，速率近似為零（液面下降極慢），高度 $z = h$。
- 小孔出口：壓力也是 $P_\text{atm}$（與外界直接接觸），速率待求，高度 $z = 0$。
兩端大氣壓相消，整理得：
\[\rho g h = \frac{1}{2}\rho v^2\] \[\boxed{v = \sqrt{2gh}}\]數學形式和真空中自由落體 $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ 完全相同，但物理機制不同：這裡是液體內部的壓力梯度推動水流，只是因為兩端大氣壓恰好相等，讓形式一致。
密封容器的反例：若容器頂部密封為真空，底部仍通大氣壓，白努利方程式會多出一個 $P_\text{atm}$ 項壓制出流——水深不夠時反而流不出，甚至倒灌。飲水機倒扣水桶不會一次傾洩，正是這個道理。
理想化假設
托里切利定律成立的條件：流體不可壓縮、無黏性、流動穩態，且液面面積遠大於小孔面積（讓液面下降速率可忽略）。真實情況需引入流量係數修正（見末節）。
排水 ODE：動態水位方程
托里切利定律只給出瞬時速率。水位 $h$ 隨時間下降，需建立微分方程式描述完整過程。
設容器在高度 $h$ 處的水平截面積為 $A(h)$，小孔截面積為 $a$。在極短時間 $\dd{t}$ 內：
- 液面下降 $\lvert\dd{h}\rvert$，容器內減少體積 $A(h)\lvert\dd{h}\rvert$
- 小孔排出體積 $a\cdot\sqrt{2gh}\,\dd{t}$
體積守恆給出排水 ODE：
\[\boxed{A(h)\,\dv{h}{t} = -a\sqrt{2gh}}\]負號表示水位下降。解這個可分離變數的一階 ODE，就能求出排空時間。
例題一：圓柱形水槽
題：底面積 $A = 1\,\text{m}^2$、初始水深 $h_0 = 4\,\text{m}$ 的圓柱形水槽，底部小孔截面積 $a = 10^{-3}\,\text{m}^2$，取 $g = 9.8\,\text{m/s}^2$。求排空時間 $T$。
解：
圓柱截面積為常數，ODE 為：
\[\dv{h}{t} = -\frac{a}{A}\sqrt{2gh}\]分離變數，移項：
\[h^{-1/2}\,\dd{h} = -\frac{a\sqrt{2g}}{A}\,\dd{t}\]兩邊積分（水位從 $h_0$ 降至 $0$，時間從 $0$ 到 $T$）：
\[\int_{h_0}^{0} h^{-1/2}\,\dd{h} = -\frac{a\sqrt{2g}}{A}\int_0^T \dd{t}\] \[\Big[2\sqrt{h}\Big]_{h_0}^0 = -\frac{a\sqrt{2g}}{A}\,T\] \[-2\sqrt{h_0} = -\frac{a\sqrt{2g}}{A}\,T\] \[\boxed{T = \frac{A}{a}\sqrt{\frac{2h_0}{g}}}\]代入數值：
\[T = \frac{1}{10^{-3}}\sqrt{\frac{2\times4}{9.8}} \approx 1000\times 0.903 \approx 903\,\text{s} \approx 15.1\,\text{min}\]兩個值得注意的事：
$T$ 正比於 $\sqrt{h_0}$，不是 $h_0$——水深加倍，排空時間只增加 $\sqrt{2}\approx 1.41$ 倍。原因是水位越低，出流速率越慢，「最後一點水漏得特別慢」的直覺正確。
$T$ 正比於 $A/a$（容器大、孔口小，排得久），這部分成線性比例，符合直覺。
例題二：半球碗排水時間
這是大學微積分課的經典範例，難度在於截面積 $A(h)$ 本身也隨水位變化。
題：半徑 $R$ 的半球碗，碗口朝上裝滿水，碗底有半徑 $r$ 的小圓孔。求排空時間 $T$。
解：
步驟 1：建立截面積函數 $A(h)$
設水面距碗底高度為 $h$。在高度 $h$ 處，水面的水平半徑 $x$ 由半球幾何給出：
\[x^2 + (h-R)^2 = R^2 \;\Rightarrow\; x^2 = 2Rh - h^2\]水面截面積：
\[A(h) = \pi x^2 = \pi(2Rh - h^2)\]步驟 2：分離變數
小孔截面積 $a = \pi r^2$，代入 ODE：
\[\pi(2Rh - h^2)\,\dv{h}{t} = -\pi r^2\sqrt{2gh}\]整理分離變數：
\[\frac{2Rh - h^2}{\sqrt{h}}\,\dd{h} = -r^2\sqrt{2g}\,\dd{t}\] \[\left(2R\,h^{1/2} - h^{3/2}\right)\dd{h} = -r^2\sqrt{2g}\,\dd{t}\]步驟 3：積分（水從滿到空：$h$ 從 $R$ 到 $0$）
\[\int_R^0 \!\left(2R\,h^{1/2} - h^{3/2}\right)\dd{h} = -r^2\sqrt{2g}\,T\]左側：
\[\left[\frac{4R}{3}h^{3/2} - \frac{2}{5}h^{5/2}\right]_R^0 = -\left(\frac{4}{3} - \frac{2}{5}\right)R^{5/2} = -\frac{14}{15}R^{5/2}\]因此：
\[\boxed{T = \frac{14\,R^{5/2}}{15\,r^2\sqrt{2g}}}\]數值範例（$R = 0.15\,\text{m}$，$r = 0.005\,\text{m}$）：
\[T = \frac{14\times(0.15)^{5/2}}{15\times(0.005)^2\times\sqrt{19.6}} \approx 73.5\,\text{s}\]為什麼半球碗排空比你想的快？
半球底部截面積 $A(h) = \pi(2Rh - h^2)$ 在水位低時急速縮小（近似 $2\pi Rh$），同樣的出流體積讓水位下降得越來越快。你在廚房能觀察到這個現象：碗裡最後那點水消失得特別迅速。
半球碗排空時間正比於 $R^{5/2}$——半徑加倍，排空時間增為 $2^{5/2} \approx 5.66$ 倍（相比圓柱只增 $\sqrt{2}$ 倍）。
真實流體：流量係數
理想情況的出流速率 $v = \sqrt{2gh}$ 在實際上略有高估，因為：
- 射流收縮（vena contracta）：射流離開孔口後仍繼續收縮，等效截面積約為孔口的 62%
- 黏性損失：流體通過孔口邊緣產生摩擦
工程上引入流量係數 $C_d$（典型值約 $0.6$）修正：
\[Q_\text{real} = C_d\cdot a\sqrt{2gh}\]代入後，排空時間延長為理論值的 $1/C_d \approx 1.67$ 倍。
統整
| 問題 | 數學工具 | 結果 |
|---|---|---|
| 出流速率 | 白努利方程式（壓差抵消） | $v = \sqrt{2gh}$ |
| 動態水位 | 質量守恆 → ODE | $A(h)\,\dv*{h}{t} = -a\sqrt{2gh}$ |
| 圓柱排空 | 分離變數 + 積分 | $T = (A/a)\sqrt{2h_0/g}$ |
| 半球排空 | 截面積函數 + 分離變數 | $T = 14R^{5/2}/(15r^2\sqrt{2g})$ |
| 真實修正 | 流量係數 | $Q = C_d\cdot a\sqrt{2gh}$，$C_d \approx 0.6$ |
托里切利定律是白努利方程式的特例，但它真正的精妙在於：從一個「靜態」的速率公式，透過質量守恆與積分，可以預測整個「動態」排水過程——這正是微積分連結「瞬時」與「累積」的核心能力。