托勒密定理入門：圓內接四邊形的對角線公式，與 sin(A+B) 的另一種證明
托勒密定理說圓內接四邊形的對角線乘積等於兩組對邊乘積之和。本文從一個常見的解題困境出發，用餘弦定理完整推導這條定理，並示範如何用它證明 sin(A+B) 公式，最後整理何時該用托勒密定理、何時該老實用餘弦定理。
一個常見的卡關經驗
圓內接四邊形的題目，如果沒學過托勒密定理，很多人會很自然地想：那就老實用餘弦定理硬解吧。
於是設一個未知角 $\theta$，在某個三角形裡列出餘弦定理，卻發現式子裡同時卡著兩個未知量——一條邊長和一個角度——怎麼算都少一個條件。
真正的問題往往不是「缺一條定理」，而是選錯了三角形。圓內接四邊形裡藏著好幾個三角形可以下手，其中大部分會讓你同時留下兩個未知量；只有選對三角形——通常是利用「同一條弦所對的圓周角相等」，把其中一個未知角替換成已知角——才能讓餘弦定理真正解出東西。
托勒密定理厲害的地方，就是把這整套「找對三角形、消去角度」的過程，濃縮成一條可以直接套用的公式。
托勒密定理說什麼
托勒密定理（Ptolemy’s theorem）：設 $ABCD$ 為圓內接凸四邊形，則兩條對角線的乘積，等於兩組對邊乘積之和：
\[AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD\]直覺上可以這樣記：四邊形有兩條對角線、兩組對邊，托勒密定理說的是「對角線乘積 = 對邊乘積的和」——但只有在四點共圓時才成立；一般四邊形只滿足不等式 $AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD$。
正式推導：從兩次餘弦定理消去角度
設圓內接四邊形 $ABCD$ 的邊長為
\[AB=a,\quad BC=b,\quad CD=c,\quad DA=d,\]兩條對角線為
\[AC=e,\quad BD=f.\]令 $\angle ABC=\theta$。因為 $ABCD$ 是圓內接四邊形，對角互補：
\[\angle ADC=180^\circ-\theta\]第一步：用 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 表示同一條對角線 $e$
在 $\triangle ABC$ 中：
\[e^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\]在 $\triangle ADC$ 中，利用 $\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$：
\[e^2=c^2+d^2-2cd\cos(180^\circ-\theta)=c^2+d^2+2cd\cos\theta\]第二步：消去 $\cos\theta$
把兩式分別乘上 $cd$ 與 $ab$ 再相加，消去 $\cos\theta$ 項：
\[e^2(ab+cd)=ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)\]右邊看似複雜，但可以因式分解：
\[ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)=(ac+bd)(ad+bc)\]所以
\[e^2(ab+cd)=(ac+bd)(ad+bc)\tag{1}\]第三步：對另一條對角線 $f$ 重複同樣的手法
用同樣的方法，改看 $\angle BAD$ 與 $\angle BCD$（同樣互補），分別在 $\triangle ABD$、$\triangle CBD$ 用餘弦定理，可以得到完全平行的結果：
\[f^2(ad+bc)=(ac+bd)(ab+cd)\tag{2}\]第四步：兩式相乘，消去多餘因子
把 $(1)$、$(2)$ 相乘：
\[e^2f^2(ab+cd)(ad+bc)=(ac+bd)^2(ab+cd)(ad+bc)\]邊長都是正數，兩邊約掉共同因子 $(ab+cd)(ad+bc)$：
\[e^2f^2=(ac+bd)^2\]開根號（兩邊皆正）：
\[\boxed{AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD}\]這正是托勒密定理。整條推導只用了餘弦定理與圓內接四邊形對角互補這兩個高中生都學過的工具——托勒密定理不是憑空冒出的新規則，而是把兩組餘弦定理疊加、消去角度後留下的邊長關係。可以把它想成「已經幫你把未知角消乾淨的餘弦定理套餐」。
例題：用托勒密定理證明 sin(A+B) 公式
托勒密定理最漂亮的應用之一，是拿來證明正弦的和角公式——完全不需要旋轉座標或複數。
取一個直徑為 $1$ 的圓，$A,C$ 為直徑的兩端點。在圓上另取兩點 $B,D$，分別落在直徑 $AC$ 的兩側，使四點依序 $A,B,C,D$ 排列成一個圓內接四邊形，並設
\[\angle BAC=\alpha,\qquad \angle CAD=\beta\]因為 $AC$ 是直徑，直徑所對的圓周角必為直角，所以
\[\angle ABC=90^\circ,\qquad \angle ADC=90^\circ\]在直角三角形 $ABC$ 中（斜邊 $AC=1$）：
\[AB=\cos\alpha,\qquad BC=\sin\alpha\]在直角三角形 $ACD$ 中（斜邊同樣是 $AC=1$）：
\[AD=\cos\beta,\qquad CD=\sin\beta\]四邊形 $ABCD$ 的對角線是 $AC=1$ 與 $BD$。代入托勒密定理：
\[AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA\] \[BD=\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta\tag{3}\]另一方面，$\angle BAD=\alpha+\beta$ 正是弦 $BD$（對應不含 $A$ 的弧 $BCD$）所對的圓周角。由正弦定理（外接圓直徑版本），任何弦長都等於「直徑 $\times$ 該弦所對圓周角的正弦」：
\[BD=1\cdot\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha+\beta)\tag{4}\]比較 $(3)$ 與 $(4)$，立刻得到
\[\boxed{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}\]也就是熟悉的正弦和角公式。這個證明的精神值得記住：把三角恆等式問題「翻譯」成一個圓內接四邊形，托勒密定理配上圓周角定理，就會自動幫你把恆等式生出來。 這說明托勒密定理不只是幾何工具，它本質上是三角恆等式的一種幾何編碼。
延伸：已知一個頂點的資訊，能不能重建整個四邊形？
一個很自然的後續問題是：如果只知道圓內接四邊形 $ABCD$ 的
\[AB,\quad AD,\quad AC,\quad \angle BAD\]能不能反推出剩下兩邊 $BC$、$CD$？
答案是可以，而且托勒密定理是推導過程的核心一步：
- 先用 $\triangle ABD$ 的餘弦定理，由 $AB,AD,\angle BAD$ 算出對角線 $BD$。
- 由托勒密定理，$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$，這是一條關於 $BC,CD$ 的線性關係。
- 再用圓內接四邊形對角互補，在 $\triangle BCD$ 用餘弦定理，得到第二條關於 $BC,CD$ 的關係。
- 聯立消去其中一個變數，解出一元二次方程式。
有趣的是，這個二次方程式一般會有兩組解，幾何原因很直觀：$A,B,D$ 三點已經唯一決定一個圓；而 $C$ 除了要在這個圓上，還要落在「以 $A$ 為圓心、$AC$ 為半徑」的另一個圓上。兩個圓最多交於兩點，所以 $C$ 的位置（進而 $BC,CD$ 的值）通常有兩種可能，除非 $AC$ 恰好等於外接圓直徑，這時兩組解才會重合成一組。
總結：什麼時候該用托勒密定理？
| 情境 | 建議做法 |
|---|---|
| 已知四邊、求對角線，或已知三邊 + 一條對角線、求第四邊 | 直接套托勒密定理，一步到位 |
| 沒有現成公式、需要角度資訊（例如求某個內角） | 老實用餘弦定理 + 圓內接四邊形對角互補 |
| 用餘弦定理卡關，式子裡同時留下未知邊與未知角 | 先檢查：是不是選錯三角形？有沒有同弦圓周角可以把未知角換成已知角？ |
| 想證明三角恆等式（如和角公式） | 試著把恆等式「翻譯」成一個圓內接四邊形，看托勒密定理能不能直接生出答案 |
托勒密定理的真正價值，不只是省下計算量，而是提醒你一件更根本的解題原則：遇到圓內接四邊形卡關時，先問自己是不是選錯了三角形，而不是急著懷疑自己少學了公式。
→ 歡迎預約家教課，直接針對你的問題討論