尺規作圖可作性與 Gauss-Wantzel 定理：為什麼正十七邊形可以作，但角三等分不行？

\[\require{physics}\]

上一篇留下了一個問題：為什麼 $\cos20^\circ$ 沒有純實數的巢狀根式表達？為什麼正十七邊形可以尺規作圖，但「任意角三等分」一般卻不行？

這兩個問題的答案，其實是同一件事——而這件事可以用一個簡潔到令人意外的判準回答：

\[[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=2^k\]

這篇文章要把這個判準從頭建立起來：先精確定義「可作性」是什麼，再引入「體擴張的次數」這個代數工具，最後證明尺規作圖的幾何限制，翻譯成代數語言就是「每一步擴張次數最多 2」。

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一、可作性（constructibility）的精確定義

從一條長度為 $1$ 的線段出發——也就是平面上兩個點 $(0,0)$ 和 $(1,0)$。允許的工具只有兩種：

• 直尺：過兩個已知點畫一條直線
• 圓規：以已知點為圓心、已知線段長為半徑畫一個圓

每作一個新點，都必須是「已有的直線、圓」之間的交點。一個實數 $\alpha$ 稱為可作（constructible），如果長度 $\lvert\alpha\rvert$ 可以透過有限次上述操作，從單位長度作出來。

直覺上，可作數至少要對加、減、乘、除封閉——用相似三角形可以作出乘法和除法，用平移可以作出加減。此外還有一個關鍵的「額外能力」：開平方根。利用「半圓上的圓周角為直角」這個性質（圖見任何幾何教材的「幾何平均作圖法」），可以直接作出兩線段長度的幾何平均，也就是平方根。

所以：

\[\text{可作數}\ \supseteq\ \mathbb{Q},\quad \text{且對 }+,-,\times,\div,\sqrt{\phantom{x}}\ \text{封閉}\]

問題是反過來：「從 $\mathbb{Q}$ 出發，做有限次四則運算與開平方根」得到的數，是否就是可作數的全部？答案是肯定的，而證明這件事，需要先建立一套全新的語言——體擴張。

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二、體擴張的語言：$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ 是什麼

2.1 $\mathbb{Q}(\alpha)$：添加一個數之後的最小體

$\mathbb{Q}(\alpha)$ 讀作「$\mathbb{Q}$ 添加 $\alpha$」：把 $\alpha$ 加入有理數系統，再做所有可能的四則運算，所得到的最小體（field）。

最簡單的例子：

\[\mathbb{Q}(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2 \mid a,b\in\mathbb{Q}\}\]

驗證這真的對四則運算封閉，關鍵在除法的有理化：

\[\frac{1}{a+b\sqrt2}=\frac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}\]

只要 $a,b$ 不全為零，分母 $a^2-2b^2\neq0$（因為 $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$），結果仍是 $a’+b’\sqrt2$ 的形式——不會「跑出去」。

2.2 次數 = 向量空間的維度

這是整套理論的核心洞察：把 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 看成一個以 $\mathbb{Q}$ 為「係數」的向量空間。對 $\mathbb{Q}(\sqrt2)$，每個元素是 $a\cdot1+b\cdot\sqrt2$——這跟 $\mathbb{R}^2$ 中向量 $a\hat{x}+b\hat{y}$ 的寫法完全一樣：

向量空間 $\mathbb{R}^2$	域擴張 $\mathbb{Q}(\sqrt2)$
係數 $a,b\in\mathbb{R}$	係數 $a,b\in\mathbb{Q}$
基底 ${\hat x,\hat y}$	基底 ${1,\sqrt2}$
維度 $=2$	次數 $[\mathbb{Q}(\sqrt2):\mathbb{Q}]=2$

定義：

\[[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]:=\dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\alpha)\]

這個數從何而來？來自 $\alpha$ 的最小多項式——係數在 $\mathbb{Q}$ 中、以 $\alpha$ 為根的、次數最低的多項式。一般規則：

\[\boxed{[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=\deg(\alpha\ \text{的最小多項式})}\]

例如 $\sqrt2$ 滿足 $x^2-2=0$（二次，不可約），所以 $[\mathbb{Q}(\sqrt2):\mathbb{Q}]=2$，基底 ${1,\sqrt2}$。而 $\sqrt[3]2$ 滿足 $x^3-2=0$（三次，不可約），所以 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]2):\mathbb{Q}]=3$，基底 ${1,\sqrt[3]2,\sqrt[3]4}$。

2.3 塔定理（Tower Theorem）：次數的乘法性

若 $\mathbb{Q}\subseteq E\subseteq K$，則 $[K:\mathbb{Q}]=[K:E]\cdot[E:\mathbb{Q}]$

直覺：就像「基底的基底」。如果 $E$ 在 $\mathbb{Q}$ 上有 $m$ 個基底，$K$ 在 $E$ 上有 $n$ 個基底，那麼 $K$ 在 $\mathbb{Q}$ 上就有 $m\times n$ 個基底（兩組基底兩兩相乘）。

具體例子：

\[\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt2)\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)\]

$[\mathbb{Q}(\sqrt2):\mathbb{Q}]=2$（$\sqrt2$ 滿足 $x^2-2$），$[\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb{Q}(\sqrt2)]=2$（因為 $\sqrt3\notin\mathbb{Q}(\sqrt2)$，且滿足 $x^2-3$）。由塔定理：

\[[\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb{Q}]=2\times2=4\]

基底是 ${1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6}$——剛好四維。這個「連乘」的機制，正是接下來 $2^k$ 出現的真正原因。

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三、幾何操作的代數翻譯：每一步至多二次擴張

設目前已作出的點，座標都落在某個體 $F$ 中（一開始 $F=\mathbb{Q}$）。一個新點，必定是下列三種交點之一：

3.1 直線 ∩ 直線 → 一次方程

兩條直線的方程（係數都在 $F$ 中）聯立，是一個線性方程組，由克拉瑪公式直接解出 $x,y\in F$——不擴張域。

幾何意義：兩條直線的交點是唯一確定的，不需要「選擇」，而「選擇」正是平方根的本質（正負號的兩個選擇）。

3.2 直線 ∩ 圓 → 二次方程

把直線方程 $y=mx+k$ 代入圓方程 $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$，展開後得到一個標準二次方程

\[(1+m^2)x^2+(\text{一次項})x+(\text{常數項})=0\]

由二次公式 $x=\dfrac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$，新座標落在 $F(\sqrt D)$，其中 $D=B^2-4AC\in F$。

幾何意義：一條直線與一個圓通常交於兩點，這「兩個交點」正對應 $\pm\sqrt D$ 的兩個選擇。擴張次數 $[F(\sqrt D):F]\in{1,2}$——若 $D$ 在 $F$ 中已是完全平方，則不擴張；否則恰好擴張 $2$。

3.3 圓 ∩ 圓 → 化簡為直線 ∩ 圓

兩個圓的方程相減，$x^2,y^2$ 項剛好抵消，得到一條直線（兩圓的根軸）。圓∩圓的交點 = 根軸 ∩ 其中一個圓，又化簡回 3.2 的情況。

3.4 統一結論

交點類型	對應方程	擴張次數 $[F(\text{新點}):F]$
線 ∩ 線	一次	$1$
線 ∩ 圓	二次	$1$ 或 $2$
圓 ∩ 圓	化簡為線∩圓	$1$ 或 $2$

所以從 $\mathbb{Q}=F_0$ 出發，每作一個新點都使

\[F_0\subseteq F_1\subseteq F_2\subseteq\cdots\subseteq F_k,\qquad [F_{i+1}:F_i]\in\{1,2\}\]

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四、定理：可作數的次數必為 $2$ 的冪

由塔定理連乘：

\[[F_k:\mathbb{Q}]=[F_k:F_{k-1}]\times\cdots\times[F_1:F_0]=2^{k'}\quad(\text{某個 }k'\leq k)\]

若 $\alpha$ 可作，則 $\alpha\in F_k$，所以 $\mathbb{Q}(\alpha)\subseteq F_k$。再用一次塔定理：

\[[F_k:\mathbb{Q}]=[F_k:\mathbb{Q}(\alpha)]\times[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]\]

左邊是 $2^{k’}$，右邊是兩個正整數的乘積——所以 $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ 必須整除 $2^{k’}$，因此本身也是 $2$ 的冪：

\[\boxed{\alpha\ \text{可尺規作圖}\implies[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=2^k}\]

這個論證的優雅之處在於：完全不需要嘗試所有可能的作圖方法（那是無窮多種），只需要算一個多項式的次數，就能一次性排除所有可能性。這是代數方法相對於幾何嘗試法的威力所在。

（這個方向的逆命題——次數是 $2$ 的冪是否「足夠」保證可作——需要更細緻的條件，但對本文的應用已經夠用：我們只需要用「次數不是 $2$ 的冪 $\implies$ 不可作」這個方向。）

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五、回到三等分角：$\cos20^\circ$ 為什麼不可作

設已知角 $\theta$ 可作，要把它三等分成 $\alpha=\theta/3$。三倍角公式給出

\[\cos\theta=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\]

令 $x=\cos\alpha$、$c=\cos\theta$（已知數），則 $x$ 滿足三次方程 $4x^3-3x-c=0$。三等分角的可作性，等價於這個三次方程的根是否能落在 $2$ 的冪次擴張裡。

$60^\circ\to20^\circ$：不可作

$c=\cos60^\circ=\frac12$，方程變成

\[8x^3-6x-1=0\]

這個方程在 $\mathbb{Q}$ 上不可約（用有理根定理可驗證 $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac18$ 都不是根），所以

\[[\mathbb{Q}(\cos20^\circ):\mathbb{Q}]=3\]

但 $3$ 不是 $2$ 的冪——矛盾，所以 $\cos20^\circ$ 不可作。這正是上一篇提到的 casus irreducibilis 的幾何對應：$\cos20^\circ$ 確實是實數，但無法用純實數平方根表示。

$90^\circ\to30^\circ$：可作

$c=\cos90^\circ=0$，方程變成 $4x^3-3x=0=x(4x^2-3)$，可約——$x=0$ 是一個根，剩下 $4x^2-3=0$ 是二次方程，$[\mathbb{Q}(\cos30^\circ):\mathbb{Q}]=2$。所以 $90^\circ$ 三等分成 $30^\circ$，是可作的（畢竟 $30^\circ$ 本來就是已知特殊角）。

結論：「一般任意角不能三等分」不代表「所有角都不能三等分」——要看對應三次方程是否可約。這正是下一篇要正式回答的問題類型。

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六、Gauss–Wantzel 定理：哪些正多邊形與角度可作？

6.1 定理陳述

對於角度 $\theta=\dfrac{180^\circ}{n}$，$\cos\theta$ 可用實數平方根表示（即正 $n$ 邊形可尺規作圖）若且唯若

\[n=2^k\cdot p_1p_2\cdots p_m\]

其中 $p_i$ 是互不相同的費馬質數（Fermat primes）——目前已知只有 $5$ 個：

\[3,\ 5,\ 17,\ 257,\ 65537\]

（這些都是 $2^{2^j}+1$ 形式的質數。為什麼條件牽涉到歐拉函數 $\varphi(n)$ 是否為 $2$ 的冪——這背後的群論機制，是下一篇的主題。）

關鍵性質：兩個可作角度的和、差、一半都仍是可作角度——因為可作數對 $+,-,\div2$（即開平方根的特例）封閉。

6.2 應用一：$108^\circ$（正五邊形）

$5$ 本身就是費馬質數（$2^{2^1}+1=5$），所以正五邊形可作 $\to$ $72^\circ=360^\circ/5$ 可作 $\to$ $108^\circ=180^\circ-72^\circ$ 可作。實際上 $\cos36^\circ=\dfrac{1+\sqrt5}{4}$（上一篇推導過），$[\mathbb{Q}(\cos36^\circ):\mathbb{Q}]=2$，正好是 $2^1$。

6.3 應用二：所有 $3^\circ$ 的整數倍都可作

$3^\circ=\dfrac{180^\circ}{60}$，而 $60=2^2\times3\times5$，其中 $3,5$ 都是費馬質數 $\to$ 正六十邊形可作 $\to$ $3^\circ$ 可作。由「可作角度的整數倍可透過反覆加法得到」，所有 $3^\circ$ 的整數倍（$0^\circ,3^\circ,6^\circ,\ldots,87^\circ,90^\circ$）都可以寫成純實數巢狀根式——這正是上一篇表格裡 $15^\circ,18^\circ,36^\circ,72^\circ$ 全部「剛好」有漂亮根式的原因。

6.4 應用三：$1^\circ$ 不可作，但 $\dfrac{180^\circ}{17}$ 可作

$1^\circ=\dfrac{180^\circ}{180}$，$180=2^2\times3^2\times5$——含 $3^2$（費馬質數 $3$ 重複出現），違反「互不相同」的條件，所以 $1^\circ$ 不可作。

另一方面，$\dfrac{180^\circ}{17}\approx10.588^\circ$（以及它的整數倍）理論上可作——這正是高斯當年用來證明正十七邊形可尺規作圖的著名結果，但實際展開式極其複雜，日常很少用到。

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小結

概念	核心內容
可作性	從單位長度出發，直尺+圓規有限次操作可得的數
體擴張次數 $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$	$\mathbb{Q}(\alpha)$ 作為 $\mathbb{Q}$-向量空間的維度，等於 $\alpha$ 最小多項式的次數
塔定理	$[K:\mathbb{Q}]=[K:E][E:\mathbb{Q}]$，次數可乘
幾何 ↔ 代數	線∩線（次數1）、線∩圓／圓∩圓（次數1或2）
可作性判準	$\alpha$ 可作 $\implies[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=2^k$
$\cos20^\circ$	$[\mathbb{Q}(\cos20^\circ):\mathbb{Q}]=3$，不是 $2$ 的冪 $\implies$ 不可作
Gauss–Wantzel 定理	正 $n$ 邊形可作 $\iff n=2^k\times(\text{互不相同的費馬質數之積})$

我們現在知道「能不能尺規作圖」的答案藏在 $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ 是不是 $2$ 的冪裡。但還有一個更深的問題：$\cos20^\circ$ 的次數是 $3$，雖然不可作，但它是不是還能用某種更廣義的「根式」表示（例如允許複數的卡丹公式）？這個問題的答案，要看一個方程「根與根之間能怎麼互換」——這就是下一篇伽羅瓦理論要回答的問題。

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