電容與電感（系列）⑤：RLC 電路的阻尼振盪

\[\require{physics}\]

在電容與電感的對稱之美與電容與 RC 電路中，我們看到電容器像彈簧（儲存「位能」）、電感器像質量（儲存「動能」）。如果只有電容和電感、沒有電阻，這兩種能量會永遠來回交換，形成不衰減的振盪——就像沒有空氣阻力的彈簧。

但現實中的導線、線圈都有電阻。電阻會做什麼？答案和你想的一樣：讓振盪逐漸消失。這篇文章要回答一個更精確的問題：電阻多大，振盪才會完全消失？消失的方式有幾種？

---

一、先複習：沒有電阻的 LC 電路

設電容器上的電荷為 $q(t)$，沒有外加電源時，迴路方程式是

\[L\dv[2]{q}{t}+\frac{1}{C}q=0\]

整理成

\[\dv[2]{q}{t}+\frac{1}{LC}q=0\]

這正是簡諧運動的方程式 $\dv[2]{x}{t}+\omega^2x=0$，角頻率為

\[\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\]

解是不衰減的振盪 $q(t)=Q_0\cos(\omega_0 t+\varphi)$：電場能與磁場能持續來回交換，總能量

\[U=\frac{q^2}{2C}+\frac{1}{2}LI^2=\text{常數}\]

永遠不變。

現在的問題是：把一個電阻 $R$ 接進這個迴路，會發生什麼事？

---

二、RLC 電路的微分方程式

把電阻 $R$、電感 $L$、電容 $C$ 串聯成一個迴路，以電容電荷 $q(t)$ 描述，迴路方程式為

\[L\dv[2]{q}{t}+R\dv{q}{t}+\frac{1}{C}q=0\]

除以 $L$：

\[\dv[2]{q}{t}+\frac{R}{L}\dv{q}{t}+\frac{1}{LC}q=0\]

這是一個二階線性常微分方程式，比 LC 電路多了一項——含 $\dv{q}{t}$（也就是電流 $I$）的項，係數是 $R/L$。

直覺：這一項代表什麼？

$\dv{q}{t}$ 就是電流 $I$。多出來的這一項 $\dfrac{R}{L}\dv{q}{t}$ 來自電阻上的電壓降 $V_R=IR$。當電流流動時，電阻會把電能轉成熱（焦耳熱），這部分能量離開了電場—磁場的循環，再也回不來。

電阻在這裡扮演的角色，和力學中的「空氣阻力」「摩擦力」完全一樣：兩者都會把系統的機械能（或電磁能）不可逆地轉成熱，讓振盪逐漸「衰減」。

---

三、與阻尼振子的對照

力學中帶阻尼的彈簧振子方程式是

\[m\dv[2]{x}{t}+b\dv{x}{t}+kx=0\]

其中 $m$ 是質量、$b$ 是阻尼係數（例如空氣阻力係數）、$k$ 是彈性係數。把這個方程式和 RLC 電路的方程式並排比較：

阻尼振子	RLC 電路
位置 $x$	電荷 $q$
速度 $v=\dv{x}{t}$	電流 $I=\dv{q}{t}$
質量 $m$	電感 $L$
阻尼係數 $b$	電阻 $R$
彈性係數 $k$	$1/C$
動能 $\frac{1}{2}mv^2$	磁場能 $\frac{1}{2}LI^2$
位能 $\frac{1}{2}kx^2$	電場能 $\dfrac{q^2}{2C}$
阻尼力 $-b\,\dv{x}{t}$	電阻電壓 $-R\,\dv{q}{t}$

兩個方程式長得一模一樣，所以所有彈簧振子的結論，都可以直接「翻譯」成 RLC 電路的結論——這正是這一系列文章一直在強調的對稱性。

---

四、特徵方程式與判別式

要解二階線性常微分方程式

\[\dv[2]{q}{t}+\frac{R}{L}\dv{q}{t}+\frac{1}{LC}q=0\]

標準做法是假設解的形式為 $q(t)=e^{st}$，代入後得到特徵方程式：

\[s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}=0\]

用公式解：

\[s=\frac{-\dfrac{R}{L}\pm\sqrt{\left(\dfrac{R}{L}\right)^2-\dfrac{4}{LC}}}{2}\]

根的型態完全由判別式

\[\Delta=\left(\frac{R}{L}\right)^2-\frac{4}{LC}\]

的正負號決定。這正是整篇文章的關鍵：$\Delta$ 的符號，決定了電路振盪還是不振盪。

---

五、三種情況

情況一：欠阻尼（underdamped）

當

\[\left(\frac{R}{L}\right)^2<\frac{4}{LC}\]

即 $\Delta<0$ 時，特徵方程式的根是一對共軛複數：

\[s=-\frac{R}{2L}\pm i\,\omega_d,\qquad \omega_d=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^2}\]

解的形式是

\[q(t)=Q_0\,e^{-\frac{R}{2L}t}\cos(\omega_d t+\varphi)\]

物理意義：

\[\boxed{q(t)=\underbrace{Q_0\,e^{-\frac{R}{2L}t}}_{\text{逐漸縮小的振幅}}\times\underbrace{\cos(\omega_d t+\varphi)}_{\text{振盪}}}\]

電路仍然會振盪，但振幅以指數方式逐漸縮小——電容與電感仍在交換能量，但每次交換都有一部分被電阻吃掉，變成熱。注意振盪的角頻率 $\omega_d$ 比沒有電阻時的 $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ 略小：電阻不只讓振幅變小，也讓振盪「變慢」一點。

情況二：臨界阻尼（critical damping）

當

\[\left(\frac{R}{L}\right)^2=\frac{4}{LC}\]

即 $\Delta=0$ 時，特徵方程式有重根 $s=-\dfrac{R}{2L}$，解的形式是

\[q(t)=(A+Bt)\,e^{-\frac{R}{2L}t}\]

物理意義：電路完全不振盪，電荷單調地（不來回擺動）回到平衡值 $0$，而且是所有不振盪情況中回到平衡最快的一種。

這個情況常用在需要快速「歸零」又不能有過衝（overshoot）的系統，例如儀表指針、避震器、自動門的緩衝設計。

情況三：過阻尼（overdamped）

當

\[\left(\frac{R}{L}\right)^2>\frac{4}{LC}\]

即 $\Delta>0$ 時，特徵方程式有兩個不同的實根 $s_1,s_2$（兩者都是負數），解的形式是

\[q(t)=A\,e^{s_1 t}+B\,e^{s_2 t}\]

物理意義：電路完全不振盪，電荷緩慢地回到平衡值 $0$，速度比臨界阻尼慢。電阻太大，能量被消耗得太快，電容和電感根本來不及「交換」一次能量，系統就已經被拖回靜止狀態。

---

六、三種情況一次看：電阻是調節旋鈕

把 $R$ 想成一個旋鈕，從 $0$ 慢慢轉大：

$R$ 的大小	判別式 $\Delta$	行為	對應力學情境
$R=0$	$\Delta<0$（極限情況）	永遠不衰減的振盪	真空中的彈簧
$R$ 很小	$\Delta<0$	欠阻尼：振盪，振幅指數衰減	空氣中的彈簧
$R$ 剛好	$\Delta=0$	臨界阻尼：不振盪，最快回到平衡	設計良好的避震器
$R$ 很大	$\Delta>0$	過阻尼：不振盪，緩慢回到平衡	浸在蜂蜜裡的彈簧

直覺上，$R$ 越大不代表系統「越快靜止」——臨界阻尼才是最快的，過阻尼反而更慢。這個「中庸之道最優」的結論，在工程設計（避震系統、電表、控制系統）裡非常重要。

---

七、例題：判斷阻尼類型

題目：一個 RLC 電路中，$L=1\ \text{H}$、$C=4\times10^{-3}\ \text{F}$。試判斷下列三種電阻分別屬於哪一種阻尼，並求出相應的振盪頻率（若有）。

(a) $R=1\ \Omega$ (b) $R=20\ \Omega$ (c) $R=40\ \Omega$

解

先算出臨界值。臨界阻尼條件是

\[\left(\frac{R}{L}\right)^2=\frac{4}{LC}\implies R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\]

代入數值：

\[R_{\text{臨界}}=2\sqrt{\frac{1}{4\times10^{-3}}}=2\sqrt{250}\approx2\times15.8\approx31.6\ \Omega\]

(a) $R=1\ \Omega$：$R<R_{\text{臨界}}$，欠阻尼。

\[\omega_d=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^2}=\sqrt{250-0.25}\approx15.8\ \text{rad/s}\]

幾乎等於 $\omega_0=\sqrt{1/LC}=\sqrt{250}\approx15.8\ \text{rad/s}$——電阻很小，振盪頻率幾乎不受影響。

(b) $R=20\ \Omega$：$R<R_{\text{臨界}}$，欠阻尼。

\[\omega_d=\sqrt{250-\left(\frac{20}{2}\right)^2}=\sqrt{250-100}=\sqrt{150}\approx12.2\ \text{rad/s}\]

這次電阻較大，振盪頻率明顯比 $\omega_0$ 小。

(c) $R=40\ \Omega$：$R>R_{\text{臨界}}\approx31.6\ \Omega$，過阻尼，不振盪。

---

八、小結

情況	判別式 $\Delta=\left(\dfrac{R}{L}\right)^2-\dfrac{4}{LC}$	解的形式	行為
欠阻尼	$\Delta<0$	$Q_0e^{-\frac{R}{2L}t}\cos(\omega_d t+\varphi)$	振盪，振幅指數衰減
臨界阻尼	$\Delta=0$	$(A+Bt)e^{-\frac{R}{2L}t}$	不振盪，最快回到平衡
過阻尼	$\Delta>0$	$Ae^{s_1t}+Be^{s_2t}$（$s_1,s_2<0$）	不振盪，緩慢回到平衡

從 LC 電路的「永恆振盪」到 RLC 電路的「衰減振盪」，關鍵只是在微分方程式裡多加了一項一次微分項——這一項把系統從保守系統（能量守恆）變成耗散系統（能量隨時間流失）。同一套數學語言，描述的卻是電路裡的電子、彈簧上的物塊，甚至建築物在地震中的搖晃。這就是微分方程式作為「物理之間的翻譯機」最有力的展示。