橢圓是什麼？從雙焦點定義到反射性質

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這是克卜勒問題系列的前置篇。在進入行星軌道之前，我們先把「橢圓」這個幾何物件搞清楚——它的定義、標準方程式、各個參數的幾何意義，以及高中常考的題型。

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1. 橢圓的定義

平面上到兩定點 $F_1$、$F_2$ 距離之和為常數的點的軌跡，稱為橢圓（ellipse）。

\[PF_1 + PF_2 = 2a \qquad (2a > F_1F_2)\]

兩定點稱為焦點（foci），$F_1F_2 = 2c$。常數 $2a$ 必須嚴格大於焦距 $2c$，否則退化成線段。

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2. 標準方程式

以橢圓中心為原點，長軸為 $x$ 軸，標準方程式為：

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \qquad (a > b > 0)\]

其中三個量的關係是：

\[c^2 = a^2 - b^2\]

• $a$：半長軸（semi-major axis），頂點到中心的距離
• $b$：半短軸（semi-minor axis）
• $c$：半焦距，焦點到中心的距離

驗證：橢圓上的端點

點	位置	$PF_1 + PF_2$
長軸頂點 $(a, 0)$	距近焦點 $a-c$，遠焦點 $a+c$	$= 2a$ ✓
短軸頂點 $(0, b)$	兩焦點等距，各為 $\sqrt{b^2+c^2}=a$	$= 2a$ ✓

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3. 離心率

\[e = \frac{c}{a} \qquad (0 < e < 1)\]

$e$ 描述橢圓的「扁平程度」：

• $e \to 0$：$c \to 0$，兩焦點趨近，橢圓趨近於圓
• $e \to 1$：$c \to a$，$b \to 0$，橢圓趨近於線段
• 地球公轉軌道 $e \approx 0.017$（近圓）；哈雷彗星 $e \approx 0.967$（極扁）

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4. 焦點在 $y$ 軸的情形

若長軸為 $y$ 軸，標準方程式為：

\[\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \qquad (a > b > 0)\]

此時焦點在 $(0, \pm c)$，$c^2 = a^2 - b^2$ 不變。

辨別技巧：分母較大的那項對應長軸方向。

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5. 焦半徑公式

橢圓上一點 $P(x_0, y_0)$ 到兩焦點的距離（焦半徑）：

\[PF_1 = a + ex_0, \qquad PF_2 = a - ex_0\]

（約定 $F_1$ 在左、$F_2$ 在右，$x_0 \in [-a, a]$）

驗算：$PF_1 + PF_2 = 2a$ ✓；$PF_2 - PF_1 = -2ex_0$，$x_0 > 0$ 時 $PF_2 < PF_1$（右焦點較近）。

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6. 切線方程式

橢圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 在點 $(x_0, y_0)$ 的切線方程式為：

\[\frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = 1\]

形式上與橢圓方程式一致，只需把 $x^2 \to x x_0$、$y^2 \to y y_0$。

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7. 面積

橢圓圍成的面積：

\[S = \pi ab\]

這是圓面積 $\pi r^2$ 的推廣（令 $a=b=r$ 即得圓）。

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8. 反射性質

橢圓的光學性質：

從焦點 $F_1$ 射出的光線，經橢圓壁反射後，必定通過另一個焦點 $F_2$。

這是橢圓的反射定律（reflection property）：橢圓上任一點的法線，平分兩焦半徑的夾角，因此入射角等於反射角。

物理應用：「耳語廊」（whispering gallery）——站在焦點處的人說話，對面焦點的人能清晰聽到，即使兩人相距甚遠。

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9. 選修數學甲（分科測驗）常見題型

課綱定位：108 課綱中，橢圓方程式屬於選修數學甲（下）第一章 二次曲線的範疇。高二數學 B 的圓錐曲線單元僅談截痕，不涉及方程式；有橢圓方程式計算題的考試，是選修數學甲／分科測驗（原指考）。

以下整理分科測驗常見橢圓題型，各附解題思路。

9.1 給方程式求參數

例題：橢圓 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$，求 $a$、$b$、$c$、$e$。

解： \(a^2=25,\ b^2=9 \implies a=5,\ b=3,\ c=\sqrt{25-9}=4,\ e=\frac{4}{5}=0.8\)

焦點在 $(\pm 4, 0)$。

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9.2 給條件求方程式

例題：橢圓焦點在 $x$ 軸，長軸長 $10$，焦距 $6$，求標準方程式。

解：$2a=10 \implies a=5$；$2c=6 \implies c=3$；$b^2=a^2-c^2=16$。

\[\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\]

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9.3 焦半徑應用

例題：橢圓 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 上一點 $P$ 滿足 $PF_1=5$，求 $PF_2$ 及 $P$ 的橫坐標。

解：$a=4$，$PF_2 = 2a - PF_1 = 8-5=3$。

\[e = \frac{c}{a}=\frac{3}{4}, \quad PF_2 = a - ex_0 \implies 3 = 4 - \frac{3}{4}x_0 \implies x_0 = \frac{4}{3}\]

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9.4 直線與橢圓的交點

例題：直線 $y=x+1$ 與橢圓 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 的交點。

解：代入 $y=x+1$：

\[\frac{x^2}{4}+(x+1)^2=1 \implies \frac{5x^2}{4}+2x=0 \implies x\!\left(\frac{5x}{4}+2\right)=0\] \[x=0 \text{ 或 } x=-\frac{8}{5}\]

對應 $y=1$ 或 $y=-\frac{3}{5}$，交點為 $(0,1)$ 和 $\left(-\dfrac{8}{5},-\dfrac{3}{5}\right)$。

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9.5 最大/最小焦半徑

橢圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上一點距右焦點 $F_2$ 的距離：

\[PF_2 = a - ex_0 \in [a-ea,\ a+ea] = [a(1-e),\ a(1+e)] = \left[\frac{b^2}{a},\ 2a-\frac{b^2}{a}\right]\]

最近：$x_0=a$（右頂點），$PF_2 = a-c = a(1-e)$。
最遠：$x_0=-a$（左頂點），$PF_2 = a+c = a(1+e)$。

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9.6 橢圓與圓的配合題

例題：橢圓 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，$P$ 在橢圓上，$F_1(-1,0)$、$F_2(1,0)$ 為焦點。若 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$，求 $\triangle PF_1F_2$ 的面積。

解：設 $PF_1=r_1$，$PF_2=r_2$，則 $r_1+r_2=2a=4$，$r_1^2+r_2^2=(2c)^2=4$（勾股）。

由 $(r_1+r_2)^2=r_1^2+2r_1r_2+r_2^2$：

\[16=4+2r_1r_2 \implies r_1r_2=6\]

面積 $=\dfrac{1}{2}r_1r_2=3$。

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9.7 正焦弦

正焦弦（latus rectum）是通過焦點且垂直長軸的弦。令 $x=c$ 代入橢圓方程式：

\[\frac{c^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \implies y^2=b^2\!\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)=\frac{b^4}{a^2}\]

所以正焦弦長為：

\[2|y|=\frac{2b^2}{a}\]

例題：橢圓 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$ 的正焦弦長。

解：$a^2=9$，$b^2=5$，正焦弦長 $= \dfrac{2b^2}{a} = \dfrac{10}{3}$。

正焦弦也是極坐標軌道方程式 $r=\ell/(1+e\cos\theta)$ 中半正焦弦 $\ell=b^2/a$ 的兩倍，在行星軌道計算中常用。

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9.8 含 $xy$ 項的斜橢圓（108 課綱新增）

108 課綱數甲新增「認識含 $xy$ 項的二元二次方程式」，使斜橢圓（長軸不平行坐標軸的橢圓）首度出現在分科測驗中（首見 112 年分科測驗非選題 15–17）。

基本思路：標準橢圓 $\Gamma$ 經過旋轉 $\theta$ 角，長軸方向改變，方程式出現 $xy$ 項，形成 $Ax^2+Bxy+Cy^2=k$ 的形式。

判斷長軸端點：橢圓上離原點最遠的點，就是長軸的端點。令 $r^2=x^2+y^2$，在橢圓上對 $r^2$ 求極值，或直接計算候選點。

例（112 分科測驗題意）：橢圓 $\Gamma’:\,40x^2+4\sqrt{5}\,xy+41y^2=180$，已知 $\left(\dfrac{5\sqrt{5}}{3},-\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\right)$ 為其長軸端點之一，則長軸長為：

\[2\cdot\sqrt{\left(\tfrac{5\sqrt{5}}{3}\right)^2+\left(\tfrac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2}=2\cdot\sqrt{\tfrac{125+20}{9}}=2\sqrt{5}\]

斜橢圓題型解題策略：題目通常給出一個端點或旋轉角度，先算出長軸或短軸端點，再利用定義（長半軸 = 中心到頂點距離）求長短軸長。

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小結

• 橢圓定義：$PF_1+PF_2=2a$，標準方程式 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，$c^2=a^2-b^2$
• 離心率 $e=c/a \in (0,1)$，$e$ 越大越扁
• 焦半徑：$PF_{1,2}=a\pm ex_0$（左加右減）
• 切線方程式：$xx_0/a^2+yy_0/b^2=1$
• 面積 $\pi ab$；反射性質：從一焦點出發的光必經另一焦點

下一篇進入大學物理層級：把橢圓放進極坐標，推導克卜勒三定律的數學結構。

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