圓錐曲線極坐標與克卜勒三定律：r = ℓ/(1+e cosθ) 的幾何根源
從焦點-準線定義推導圓錐曲線的極坐標方程式 r=ℓ/(1+ecosθ)，說明橢圓、拋物線、雙曲線如何統一在同一個公式中，並連結克卜勒三定律。
\(\require{physics}\)
上一篇用直角坐標處理橢圓。行星軌道問題卻天然地適合極坐標——以焦點（太陽）為原點，$r$ 是行星到太陽的距離，$\theta$ 是真近點角。這一篇推導極坐標下圓錐曲線的統一方程式。
1. 焦點-準線定義
圓錐曲線（conic section）可以用焦點-準線（focus-directrix）比值統一定義：
平面上到定點（焦點 $F$）的距離，與到定直線（準線 $\ell$）的距離之比為常數 $e$（離心率），則該點的軌跡是圓錐曲線。
設 $P$ 到準線的距離為 $d_P$，則：
\[\frac{PF}{d_P} = e\]- $e < 1$：橢圓
- $e = 1$：拋物線
- $e > 1$：雙曲線
圖 1： 以焦點 $F$ 為極點時，點 $P(r,\theta)$ 到準線的垂直距離可拆成 $d_P=d+r\cos\theta$；焦點-準線比值 $PF/d_P=e$ 便會導出極座標方程式。
2. 推導極坐標方程式
以焦點為極點，準線在焦點左方距離 $d$ 處（即 $x = -d$ 直線）。
設 $P$ 的極坐標為 $(r, \theta)$，$P$ 到準線的距離：
\[d_P = d + r\cos\theta\]由焦點-準線定義 $r = e \cdot d_P$：
\[r = e(d + r\cos\theta) = ed + er\cos\theta\] \[r(1 - e\cos\theta) = ed\] \[\boxed{r = \frac{ed}{1 - e\cos\theta}}\]取 $\theta = 0$ 對應近焦點方向，若改寫為「近焦點在 $\theta=0$ 且 $r$ 最小」的慣用形式，令準線在右方，得：
\[r = \frac{\ell}{1 + e\cos\theta}\]其中半正焦弦（semi-latus rectum）$\ell = ed$（$\theta=\pi/2$ 時 $r=\ell$，即通過焦點垂直長軸的弦之半）。
3. 連結直角坐標參數
對橢圓（$e<1$），比較直角坐標與極坐標方程式，可以推出：
\[\ell = \frac{b^2}{a} = a(1-e^2)\]因此軌道方程式也常寫成：
\[r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}\]| 量 | 公式 |
|---|---|
| 近焦點距離（$\theta=0$） | $r_{\min} = \dfrac{\ell}{1+e} = a(1-e)$ |
| 遠焦點距離（$\theta=\pi$） | $r_{\max} = \dfrac{\ell}{1-e} = a(1+e)$ |
| 半長軸 | $a = \dfrac{r_{\min}+r_{\max}}{2}$ |
| 半正焦弦 | $\ell = \dfrac{2r_{\min}r_{\max}}{r_{\min}+r_{\max}}$（$r_{\min}$ 與 $r_{\max}$ 的調和平均） |
4. 三種圓錐曲線統一在一個方程式
\[r = \frac{\ell}{1+e\cos\theta}\]| 離心率 | 曲線 | 特徵 |
|---|---|---|
| $0 \leq e < 1$ | 橢圓（$e=0$ 為圓） | $r$ 有界，軌道封閉 |
| $e = 1$ | 拋物線 | $\theta\to\pi$ 時 $r\to\infty$ |
| $e > 1$ | 雙曲線 | 有漸近線，只有一支對應此公式 |
圖 2： 同一個公式 $r=\ell/(1+e\cos\theta)$ 中，$e<1$ 給出封閉的橢圓，$e=1$ 是拋物線的臨界開放情形，$e>1$ 則為有漸近線的雙曲線。
行星（橢圓）、彗星（可能是拋物線或雙曲線）的軌道，都屬於這一族曲線。
5. Binet 方程式：從力推出軌道形狀
以上是純幾何。現在加入力學：給定連心力 $F(r)$，軌道形狀是什麼？
這裡最自然的未知量不是 $r(t)$，而是「半徑隨角度怎麼變」的 $r(\theta)$。因為軌道形狀本身是一條曲線，不一定在乎行星什麼時刻走到哪裡；我們先問：
當方向角從 $\theta$ 變到 $\theta+\dd{\theta}$ 時，距離 $r$ 如何改變？
為了讓式子變簡單，令
\[u(\theta)=\frac{1}{r(\theta)}\]也就是把「距離」改成「倒數距離」。這一步看起來有點神祕，但對平方反比力非常自然：萬有引力有 $1/r^2$，改寫成 $u^2$ 後會變成常係數方程式。
另一方面，連心力沒有力矩，所以角動量守恆。若把單位質量角動量記為
\[h=r^2\dot{\theta}=\text{const}\]就可以把時間導數換成角度導數：
\[\dv{}{t}=\dot{\theta}\dv{}{\theta}=hu^2\dv{}{\theta}\]把極坐標中的徑向加速度
\[a_r=\ddot r-r\dot{\theta}^2\]用 $u(\theta)$ 表示，可得到
\[a_r=-h^2u^2\left(\dv[2]{u}{\theta}+u\right)\]再用牛頓第二定律 $F(r)=ma_r$，就得到 Binet 方程式：
\[\dv[2]{u}{\theta} + u = -\frac{F(1/u)}{mh^2u^2}\]它的讀法是：左邊描述軌道形狀的彎曲，右邊描述力場如何隨距離變化。因此 Binet 方程式正是把「力的形式」翻譯成「軌道形狀」的橋。
對萬有引力 $F = -GMm/r^2 = -GMmu^2$（吸引力取負）：
\[\dv[2]{u}{\theta} + u = \frac{GM}{h^2}\]關鍵漂亮之處就在這裡：平方反比力中的 $u^2$ 剛好和 Binet 方程式分母的 $u^2$ 抵消，右邊只剩常數。於是軌道方程式變成常係數非齊次線性 ODE，通解為：
\[u(\theta) = \frac{GM}{h^2} + A\cos(\theta - \theta_0)\]選 $\theta_0 = 0$（近焦點為 $\theta=0$），則：
\[\frac{1}{r} = \frac{GM}{h^2}(1 + e\cos\theta)\] \[\boxed{r = \frac{h^2/GM}{1+e\cos\theta} = \frac{\ell}{1+e\cos\theta}}\]其中 $\ell = h^2/(GM)$，$e = Ah^2/(GM)$ 由初始條件決定。
結論：萬有引力是平方反比力（inverse-square force，$F \propto 1/r^2$），對應的軌道方程式恰好是圓錐曲線的極坐標方程式。這是牛頓最重要的推導之一。
6. 克卜勒三定律
Binet 方程式的結果，加上能量分析，直接給出克卜勒三定律：
第一定律（軌道定律）
行星繞太陽的軌道是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。
對應：Binet 方程式的解 $r=\ell/(1+e\cos\theta)$，$e<1$ 時為橢圓。
第二定律（面積定律）
行星與太陽的連線在等時間內掃過等面積。
對應：連心力下角動量守恆，
\[\dv{A}{t} = \frac{1}{2}r^2\dot{\theta} = \frac{h}{2} = \text{const}\]面積速度恆為 $h/2$，與角度無關。
第三定律（週期定律）
行星週期的平方與半長軸的立方成正比：$T^2 \propto a^3$。
推導：橢圓面積 $\pi ab$ 等於面積速度乘以週期：
\[\pi ab = \frac{h}{2} T \implies T = \frac{2\pi ab}{h}\]用 $b^2 = a^2(1-e^2)$，$\ell = a(1-e^2)$，$h^2 = GM\ell$：
\[T^2 = \frac{4\pi^2 a^2 b^2}{h^2} = \frac{4\pi^2 a^2 \cdot a^2(1-e^2)}{GM \cdot a(1-e^2)} = \frac{4\pi^2 a^3}{GM}\] \[\boxed{T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3}\]比例常數 $4\pi^2/(GM)$ 只依賴中心天體的質量，對太陽系所有行星相同。
7. 近日點與遠日點
地球軌道：$a = 1\,\text{AU}$，$e \approx 0.0167$。
\[\begin{aligned} r_{\min} &= a(1-e) \approx 0.983\,\text{AU} \quad \text{（近日點，1月初）}\\ r_{\max} &= a(1+e) \approx 1.017\,\text{AU} \quad \text{（遠日點，7月初）} \end{aligned}\]差距僅約 3%，所以「冬天離太陽近」不是季節成因（季節由地軸傾角決定）。
小結
- 焦點-準線定義給出 $r = \ell/(1+e\cos\theta)$，統一三種圓錐曲線
- 半正焦弦 $\ell = b^2/a = a(1-e^2) = h^2/(GM)$
- Binet 方程式：$\dv*[2]{u}{\theta} + u = GM/h^2$，解即軌道方程式
- 克卜勒三定律均可從萬有引力 + 角動量守恆推出
- 第三定律：$T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$
下一篇反過來看：克卜勒第一定律（橢圓軌道）如何反推出平方反比力 $F \propto 1/r^2$，這是牛頓的另一個偉大推導。
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