橢圓積分為什麼叫橢圓？從弧長積分到第二類橢圓積分 E(k)

\(\require{physics}\)

本系列到目前為止，橢圓積分 $K(k)$ 的舞台是單擺。但「橢圓積分」這個名字從何而來？答案是橢圓的弧長。

計算橢圓周長時，自然出現一個比 $K(k)$ 更簡單（但同樣無法用初等函數表示）的積分，稱為第二類完全橢圓積分 $E(k)$。

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圓的周長很簡單，橢圓的不是

圓的周長是 $2\pi r$，有解析公式。橢圓的周長呢？

考慮標準橢圓

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a \ge b > 0\]

參數化：

\[x = a\cos t, \qquad y = b\sin t, \qquad t \in [0, 2\pi]\]

弧長微元：

\[\dd{s} = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\,\dd{t} = \sqrt{a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t}\,\dd{t}\]

橢圓的完整周長（利用四倍對稱）：

\[C = 4\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t}\,\dd{t}\]

把根號內提出 $a^2$：

\[C = 4a\int_0^{\pi/2}\sqrt{1 - \left(1 - \frac{b^2}{a^2}\right)\sin^2 t}\,\dd{t}\]

定義橢圓的離心率（eccentricity）：

\[e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}, \qquad 0 \le e < 1\]

（$e = 0$ 是圓，$e \to 1$ 是極度扁的橢圓。）

周長化為：

\[\boxed{C = 4a\int_0^{\pi/2}\sqrt{1 - e^2\sin^2 t}\,\dd{t} = 4a\,E(e)}\]

其中

\[\boxed{E(k) = \int_0^{\pi/2}\sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}\,\dd{\phi}, \qquad 0 \le k < 1}\]

這就是第二類完全橢圓積分（complete elliptic integral of the second kind）。橢圓積分的名稱就來自這裡。

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為什麼積不出來？

被積函數 $\sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}$ 看起來比 $K(k)$ 的被積函數更「友好」（根號在分子而非分母），但它同樣無法用初等函數表示——這是 Liouville 的定理。直觀上，含有 $\sin^2\phi$ 的二次多項式在根號下，原函數就「跑出」初等函數的範疇。

特殊情況下：

\[E(0) = \int_0^{\pi/2}\dd{\phi} = \frac{\pi}{2}\]

對應 $e = 0$（圓），周長 $= 4a \cdot \pi/2 = 2\pi a$，正確。

\[E(1) = \int_0^{\pi/2}\cos\phi\,\dd{\phi} = 1\]

對應極度扁的橢圓（退化成線段），周長 $= 4a \cdot 1 = 4a$（來回走兩遍長軸），正確。

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冪級數展開

類似 $K(k)$ 的推導，對 $E(k)$ 做二項式展開再逐項積分：

\[E(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \left[\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\right]^2 \frac{k^{2n}}{1-2n}\]

更常見的寫法是：

\[E(k) = \frac{\pi}{2}\!\left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\!2}\!\frac{k^2}{1} - \left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)^{\!2}\!\frac{k^4}{3} - \left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)^{\!2}\!\frac{k^6}{5} - \cdots\right]\]

展開前幾項：

\[\boxed{E(k) = \frac{\pi}{2}\!\left[1 - \frac{1}{4}k^2 - \frac{3}{64}k^4 - \frac{5}{256}k^6 - \cdots\right]}\]

比較 $K(k)$ 的展開式（每項都是加）：

\[K(k) = \frac{\pi}{2}\!\left[1 + \frac{1}{4}k^2 + \frac{9}{64}k^4 + \frac{25}{256}k^6 + \cdots\right]\]

可以看到 $E(k)$ 和 $K(k)$ 的係數差一個正負號——$E(k)$ 是遞減函數，$K(k)$ 是遞增函數。

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數值表

$k$	$E(k)$（精確）	$K(k)$（精確）
$0$	$1.5708$	$1.5708$
$0.3$	$1.5308$	$1.6084$
$0.5$	$1.4675$	$1.6858$
$0.7$	$1.3694$	$1.8457$
$0.9$	$1.1716$	$2.2806$
$0.99$	$1.0160$	$3.3566$
$1$	$1.0000$	$\to\infty$

表 1： $E(k)$ 和 $K(k)$ 的數值比較。$k \to 1$ 時 $E(k) \to 1$，$K(k) \to \infty$，兩者行為截然相反。

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Legendre 關係式

$E(k)$ 和 $K(k)$ 之間有一個深刻的恆等式，稱為 Legendre 關係式：

\[\boxed{E(k)\,K(k') + E(k')\,K(k) - K(k)\,K(k') = \frac{\pi}{2}}\]

其中 $k’ = \sqrt{1 - k^2}$ 是補模數。

取特殊值 $k = k’ = 1/\sqrt{2}$ 驗算：

\[2E\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)K\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left[K\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right]^2 = \frac{\pi}{2}\]

數值代入（$K(1/\sqrt{2}) \approx 1.8541$，$E(1/\sqrt{2}) \approx 1.3506$）：

\[2 \times 1.3506 \times 1.8541 - 1.8541^2 \approx 5.011 - 3.438 \approx 1.573 \approx \frac{\pi}{2} \checkmark\]

這個關係式在數值計算和理論分析中都很有用，也是橢圓積分滿足的「微分方程」（Picard–Fuchs 方程）的積分形式。

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橢圓周長的近似公式

實際工程中常需要快速估算橢圓周長。幾個常用近似：

Ramanujan 第一近似（1914 年）：

\[C \approx \pi\big[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\big]\]

Ramanujan 第二近似（精度更高）：

\[C \approx \pi(a+b)\!\left[1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4-3h}}\right], \quad h = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\]

兩者在 $a/b$ 不太極端時誤差都在 $10^{-7}$ 以內。精確值則永遠需要 $4a\,E(e)$。

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$E(k)$、$K(k)$ 與三類橢圓積分

三類橢圓積分整理如下：

類別	定義	特殊值	在本系列的角色
$K(k)$	$\int_0^{\pi/2}(1-k^2\sin^2\phi)^{-1/2}\dd{\phi}$	$K(0)=\pi/2$，$K(1)=\infty$	單擺精確週期
$E(k)$	$\int_0^{\pi/2}(1-k^2\sin^2\phi)^{+1/2}\dd{\phi}$	$E(0)=\pi/2$，$E(1)=1$	橢圓弧長（本篇）
$\Pi(n,k)$	$\int_0^{\pi/2}[(1-n\sin^2\phi)\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}]^{-1}\dd{\phi}$	—	廣義問題（本系列不深入）

兩者滿足 Legendre 關係式，是「對偶」的一對積分。

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小結

• 橢圓積分的名稱來自橢圓弧長：$C = 4a\,E(e)$
• $E(k) = \int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\,\dd{\phi}$，單調遞減，$E(0)=\pi/2$，$E(1)=1$
• 冪級數：$E(k) = \frac{\pi}{2}[1 - k^2/4 - 3k^4/64 - \cdots]$（係數全為負）
• Legendre 關係式：$E(k)K(k’) + E(k’)K(k) - K(k)K(k’) = \pi/2$
• $K(k)$ 隨 $k$ 遞增趨向無限大；$E(k)$ 隨 $k$ 遞減趨向有限值 $1$

下一篇回到物理：橢圓積分如何出現在天體力學中，並對照克卜勒橢圓軌道的積分為什麼不需要橢圓積分。

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