哈密頓力學入門：從拉格朗日到正則方程，哈密頓量的幾何意義
拉格朗日力學用位形空間描述運動；哈密頓力學升維到相空間，把動力學變成相空間中的流。本文從 Legendre 變換建立哈密頓量，推導正則方程，並說明哈密頓力學如何自然地給出單擺相圖的幾何結構。
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上一篇用拉格朗日力學推導了單擺方程式，廣義坐標是 $\theta$，方程式是一條二階 ODE。
哈密頓力學換了一個視角：把二階 ODE 拆成兩條一階方程式，然後在相空間裡描述運動。相空間的好處，我們在第四篇已經嘗過了——一張圖就能看清所有可能的運動類型。這一篇說明這個框架如何從拉格朗日力學自然長出來。
Legendre 變換：從速度到動量
拉格朗日力學的狀態空間是「位形空間」（configuration space）：$(\theta, \dot{\theta})$，變數是廣義坐標和廣義速度。
哈密頓力學把廣義速度 $\dot{\theta}$ 換成廣義動量 $p_\theta$。這個變數替換稱為 Legendre 變換（Legendre transform）。
廣義動量的定義來自拉格朗日量：
\[p_\theta = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = mL^2\dot{\theta}\]對單擺，$p_\theta$ 就是角動量。從 $p_\theta$ 反解 $\dot{\theta}$：
\[\dot{\theta} = \frac{p_\theta}{mL^2}\]哈密頓量（Hamiltonian）定義為：
\[H(\theta, p_\theta) = p_\theta\dot{\theta} - \mathcal{L}(\theta, \dot{\theta})\]其中右側的 $\dot{\theta}$ 用 $p_\theta/mL^2$ 替換，讓 $H$ 完全以 $(\theta, p_\theta)$ 表達。
單擺的哈密頓量
代入單擺的拉格朗日量 $\mathcal{L} = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 - mgL(1-\cos\theta)$：
\[H = p_\theta \cdot \frac{p_\theta}{mL^2} - \left[\frac{1}{2}mL^2\left(\frac{p_\theta}{mL^2}\right)^2 - mgL(1-\cos\theta)\right]\] \[H = \frac{p_\theta^2}{mL^2} - \frac{p_\theta^2}{2mL^2} + mgL(1-\cos\theta)\] \[\boxed{H(\theta, p_\theta) = \frac{p_\theta^2}{2mL^2} + mgL(1-\cos\theta)}\]這正是總力學能 $T + V$。對於不顯含時間的系統，哈密頓量 = 能量是普遍規律（而拉格朗日量 = $T - V$，不是能量）。
哈密頓正則方程
給定哈密頓量 $H(q, p)$，運動方程式由正則方程（canonical equations）給出：
\[\dot{\theta} = \frac{\partial H}{\partial p_\theta}, \qquad \dot{p}_\theta = -\frac{\partial H}{\partial \theta}\]對單擺計算偏導數：
\[\frac{\partial H}{\partial p_\theta} = \frac{p_\theta}{mL^2}, \qquad \frac{\partial H}{\partial \theta} = mgL\sin\theta\]代入正則方程：
\[\dot{\theta} = \frac{p_\theta}{mL^2}\] \[\dot{p}_\theta = -mgL\sin\theta\]用 $\omega = \dot{\theta}$ 和 $p_\theta = mL^2\omega$ 改寫，得到和前幾篇一樣的方程式：
\[\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0 \checkmark\]三種形式主義——牛頓、拉格朗日、哈密頓——給出同一條方程式。差別在於它們「看」這個問題的幾何視角。
相空間：哈密頓力學的舞台
哈密頓力學的狀態是相空間中的一點 $(\theta, p_\theta)$。時間演化是相空間中的「流」（flow）：
\[\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}\theta \\ p_\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\partial H/\partial p_\theta \\ -\partial H/\partial\theta\end{pmatrix}\]因為 $H$ 不顯含時間，沿軌跡 $H = \text{const}$，軌跡就是等能量曲線。這正是第四篇相圖的幾何根源：相空間軌跡 = 等哈密頓量曲線。
辛結構
哈密頓力學之所以特別，是因為正則方程具有一種幾何對稱性：$(\theta, p_\theta) \mapsto (q, p)$ 的任意正則變換（canonical transformation）會保持相空間中「面積」不變——這稱為辛幾何（symplectic geometry）。Liouville 定理說：相空間中的體積元素在哈密頓流下守恆。
這個幾何結構在量子力學（對易關係 $[q, p] = i\hbar$）和統計力學（相空間中的測度）中都有深刻對應。
哈密頓–雅可比方程（一瞥）
哈密頓力學還有第三種更深的形式：哈密頓–雅可比（Hamilton-Jacobi）方程。目標是尋找一個生成函數 $S(\theta, t)$，使得
\[H\!\left(\theta,\,\frac{\partial S}{\partial \theta}\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0\]對單擺，$H$ 不含時，令 $S(\theta, t) = W(\theta) - Et$，則
\[H\!\left(\theta,\,\dv{W}{\theta}\right) = E\]即
\[\frac{1}{2mL^2}\left(\dv{W}{\theta}\right)^2 + mgL(1-\cos\theta) = E\]解出：
\[\dv{W}{\theta} = p_\theta = \sqrt{2mL^2\big[E - mgL(1-\cos\theta)\big]}\]因此
\[W(\theta; E) = \int^\theta \sqrt{2mL^2\big[E - mgL(1-\cos\theta')\big]}\,\dd{\theta'}\]這個積分正是前幾篇反覆出現的橢圓積分。哈密頓–雅可比觀點告訴我們：計算橢圓積分 = 求單擺系統的生成函數——運動的時間解和橢圓積分是同一件事的不同面向。
三種力學形式主義對照
| 拉格朗日力學 | 哈密頓力學 | 哈密頓–雅可比 | |
|---|---|---|---|
| 狀態空間 | 位形空間 $(\theta, \dot{\theta})$ | 相空間 $(\theta, p_\theta)$ | 作用量 $S(\theta, t)$ |
| 核心量 | $\mathcal{L} = T - V$ | $H = T + V$ | 生成函數 $S$ |
| 方程形式 | E-L 二階 ODE | 正則方程一階組 | PDE |
| 幾何意義 | 廣義速度描述動力學 | 相空間流、等能量曲線 | 作用量波面 |
| 單擺結果 | $\ddot{\theta} + (g/L)\sin\theta = 0$ | 相圖封閉曲線 | 橢圓積分 $W(\theta)$ |
三者描述同一個物理，但強調不同的幾何結構，在不同問題中各有優勢。
小結
- 哈密頓量 $H = p_\theta\dot{\theta} - \mathcal{L}$，透過 Legendre 變換從 $\mathcal{L}$ 導出
- 對單擺：$H = p_\theta^2/(2mL^2) + mgL(1-\cos\theta) = $ 總能量
- 正則方程：$\dot{\theta} = \partial H/\partial p_\theta$，$\dot{p}_\theta = -\partial H/\partial\theta$
- 相空間軌跡 = 等 $H$ 曲線，哈密頓力學自然給出相圖的幾何結構
- 哈密頓–雅可比方程的解 $W(\theta)$ 就是橢圓積分，把「求解運動」與「計算特殊函數」統一在一起
下一篇暫時離開力學，回到積分本身的幾何根源：橢圓積分為什麼叫「橢圓」？從橢圓弧長推導第二類橢圓積分 $E(k)$。
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