分部積分法：乘法法則的積分版本
分部積分法是微分乘法法則的積分對應。理解它的來源，掌握 LIATE 選法，再看循環積分這個特別的情形。
分部積分法是微積分課最常用的積分技巧之一。它的公式看起來很抽象，但其實只是微分的乘法法則反過來寫。
一、來源：乘法法則反過來
設 $u = f(x)$，$v = g(x)$，兩者都可微。微分的乘法法則是：
\[\dv{x}[uv] = u'v + uv'\]兩邊積分：
\[uv = \int u'v \,\dd{x} + \int uv' \,\dd{x}\]整理一下：
\[\boxed{\int u \,\dd{v} = uv - \int v \,\dd{u}}\]其中 $\dd{u} = u’\,\dd{x}$，$\dd{v} = v’\,\dd{x}$。
這就是分部積分公式。它把「難積的 $\int u\,\dd{v}$」轉換成「（希望）比較好積的 $\int v\,\dd{u}$」。
二、如何選 $u$：LIATE 原則
分部積分最關鍵的一步是選誰當 $u$。一般用 LIATE 記憶順序，愈靠前的優先選為 $u$：
| 順序 | 類型 | 例子 |
|---|---|---|
| L | 對數函數（Logarithm） | $\ln x$，$\log_a x$ |
| I | 反三角函數（Inverse trig） | $\arctan x$，$\arcsin x$ |
| A | 代數函數（Algebraic） | $x^n$，多項式 |
| T | 三角函數（Trigonometric） | $\sin x$，$\cos x$ |
| E | 指數函數（Exponential） | $e^x$，$a^x$ |
直觀：$u$ 選微分之後「變簡單」的，$\dd{v}$ 選積分之後「不爆炸」的。
三、例題
例題 1：$\displaystyle\int x e^x \,\dd{x}$
LIATE：代數 A 優先於指數 E，選 $u = x$。
\[u = x,\quad \dd{v} = e^x\,\dd{x} \implies \dd{u} = \dd{x},\quad v = e^x\] \[\int x e^x \,\dd{x} = x e^x - \int e^x \,\dd{x} = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C\]例題 2：$\displaystyle\int x \sin x \,\dd{x}$
選 $u = x$（代數），$\dd{v} = \sin x\,\dd{x}$。
\[u = x,\quad \dd{v} = \sin x\,\dd{x} \implies \dd{u} = \dd{x},\quad v = -\cos x\] \[\int x \sin x \,\dd{x} = -x\cos x + \int \cos x \,\dd{x} = -x\cos x + \sin x + C\]例題 3：$\displaystyle\int \ln x \,\dd{x}$
$\ln x$ 沒辦法直接積分——但分部積分可以處理它。選 $u = \ln x$（對數，LIATE 第一優先），$\dd{v} = \dd{x}$。
\[u = \ln x,\quad \dd{v} = \dd{x} \implies \dd{u} = \frac{\dd{x}}{x},\quad v = x\] \[\int \ln x \,\dd{x} = x\ln x - \int x \cdot \frac{\dd{x}}{x} = x\ln x - \int \dd{x} = x\ln x - x + C\]這個結果值得記起來：$\displaystyle\int \ln x\,\dd{x} = x(\ln x - 1) + C$。
例題 4（循環積分）：$\displaystyle\int e^x \sin x \,\dd{x}$
這道題很特別。設 $I = \displaystyle\int e^x \sin x \,\dd{x}$，選 $u = \sin x$，$\dd{v} = e^x\,\dd{x}$：
\[I = e^x \sin x - \int e^x \cos x \,\dd{x}\]對右邊的積分再做一次分部積分，選 $u = \cos x$，$\dd{v} = e^x\,\dd{x}$：
\[\int e^x \cos x \,\dd{x} = e^x \cos x + \int e^x \sin x \,\dd{x} = e^x \cos x + I\]代回原式：
\[I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I) = e^x(\sin x - \cos x) - I\] \[2I = e^x(\sin x - \cos x)\] \[\boxed{\int e^x \sin x \,\dd{x} = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C}\]關鍵：$I$ 在兩邊都出現，直接解代數方程式就能得到答案。這種「繞一圈回來」的情形稱為循環積分，只有在特定函數組合（指數 $\times$ 三角）才會發生。
四、定積分的分部積分
定積分版本只需對邊界項求值：
\[\int_a^b u \,\dd{v} = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b v \,\dd{u}\]例題：計算 $\displaystyle\int_1^e \ln x \,\dd{x}$。
由例題 3 的結果 $\int \ln x\,\dd{x} = x\ln x - x + C$：
\[\int_1^e \ln x \,\dd{x} = \bigl[x\ln x - x\bigr]_1^e = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 + 1 = 1\]五、降次遞迴
分部積分也可以用來建立遞迴公式，把 $\int \cos^n x \,\dd{x}$ 化簡成 $\int \cos^{n-2} x \,\dd{x}$，依此類推。
設 $I_n = \int \cos^n x \,\dd{x}$，令 $u = \cos^{n-1} x$，$\dd{v} = \cos x \,\dd{x}$，整理後得到：
\[I_n = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} I_{n-2}\]這個遞迴公式把 $n$ 次降成 $n-2$ 次，最終會歸結到 $\int \dd{x} = x + C$（$n$ 為奇數）或 $\int \cos 0\, x\,\dd{x}$（$n$ 為偶數）。
六、小結
分部積分的核心邏輯：
- 來源：乘法法則的積分版本，$\int u\,\dd{v} = uv - \int v\,\dd{u}$
- 選法：LIATE——對數、反三角、代數、三角、指數，靠前的優先選為 $u$
- 特例：指數 $\times$ 三角的組合會出現循環積分，透過解方程式得到答案
- 定積分：只需對 $[uv]$ 代入上下限
分部積分本身是工具，難的是判斷什麼時候該用、$u$ 選誰最合適。多做幾道題，熟悉之後選法會變成直覺。
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