能量守恆與角動量守恆：vis-viva 方程式與橢圓軌道幾何量的完整關係

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這一篇整理克卜勒軌道的核心守恆律計算。守恆律是解軌道問題的利器——知道能量和角動量，幾乎所有幾何量都可以直接算出來，不需要解微分方程式。

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1. 兩個守恆量

萬有引力是保守力，且是連心力，因此同時有：

• 能量守恆：$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = \text{const}$
• 角動量守恆：$\vb{L} = m\vb{r}\times\vb{v}$，大小 $L = mh = mr^2\dot{\theta} = \text{const}$

（以下用單位質量量：$\varepsilon = E/m$，$h = L/m = r^2\dot{\theta}$）

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2. 能量與半長軸的關係

軌道方程式 $r = \ell/(1+e\cos\theta)$，半長軸：

\[a = \frac{r_{\min}+r_{\max}}{2} = \frac{\ell}{1+e}\cdot\frac{1}{2} + \frac{\ell}{1-e}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\ell}{1-e^2}\]

在近日點（$\theta=0$，$\dot{r}=0$，$v=r_{\min}\dot{\theta}$），速度最大，記為 $v_p$：

\[\varepsilon = \frac{1}{2}v_p^2 - \frac{GM}{r_{\min}}\]

在遠日點（$\theta=\pi$，$\dot{r}=0$），速度最小，記為 $v_a$：

\[\varepsilon = \frac{1}{2}v_a^2 - \frac{GM}{r_{\max}}\]

做代數整理（用 $r_{\min}+r_{\max}=2a$、$r_{\min}r_{\max}=a^2(1-e^2)=b^2$，以及角動量守恆 $r_{\min}v_p=r_{\max}v_a=h$），最終得到：

\[\boxed{\varepsilon = -\frac{GM}{2a}}\]

能量只由半長軸決定，與離心率無關。同樣半長軸的橢圓，無論多扁，總能量相同。

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3. 角動量與幾何量的關係

面積速度：

\[\dv{A}{t} = \frac{h}{2}\]

橢圓面積 $\pi ab$，週期 $T$：

\[\pi ab = \frac{h}{2}T \implies h = \frac{2\pi ab}{T}\]

用 $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$：

\[h^2 = \frac{4\pi^2 a^2 b^2}{T^2} = \frac{4\pi^2 a^2 b^2 \cdot GM}{4\pi^2 a^3} = \frac{GMb^2}{a}\]

又 $b^2 = a^2(1-e^2)$，所以：

\[\boxed{h^2 = GMa(1-e^2) = GM\ell}\]

半正焦弦 $\ell = h^2/(GM)$，與上一篇的 Binet 方程式結果一致。

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4. vis-viva 方程式

結合能量守恆 $\varepsilon = v^2/2 - GM/r$ 和 $\varepsilon = -GM/(2a)$：

\[\frac{v^2}{2} - \frac{GM}{r} = -\frac{GM}{2a}\] \[\boxed{v^2 = GM\!\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}\]

這就是 vis-viva 方程式（活力方程式）。給定軌道（$a$ 已知），只要知道當前位置 $r$，就能直接算速度大小，不需要方向。

特例：

• $r = r_{\min} = a(1-e)$：$v_p^2 = GM\dfrac{1+e}{a(1-e)}$（近日點速度最大）
• $r = r_{\max} = a(1+e)$：$v_a^2 = GM\dfrac{1-e}{a(1+e)}$（遠日點速度最小）
• $r = a$（半長軸端點附近）：$v^2 = GM/a$（等於圓形軌道速度）

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5. 近日點與遠日點速度的比值

\[\frac{v_p}{v_a} = \frac{r_{\max}}{r_{\min}} = \frac{1+e}{1-e}\]

（這來自角動量守恆：$r_{\min}v_p = r_{\max}v_a = h$）

地球：$e \approx 0.0167$，$v_p/v_a \approx 1.034$——1月（近日點）比7月快約3.4%。

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6. 完整參數表

量	公式	說明
半長軸	$a$	基本量
離心率	$e$	基本量
半短軸	$b = a\sqrt{1-e^2}$
半焦距	$c = ae$
半正焦弦	$\ell = a(1-e^2) = b^2/a$
近日距	$r_{\min} = a(1-e)$
遠日距	$r_{\max} = a(1+e)$
能量（單位質量）	$\varepsilon = -GM/(2a)$	只依賴 $a$
角動量（單位質量）	$h = \sqrt{GM\ell} = \sqrt{GMa(1-e^2)}$	依賴 $a$、$e$
週期	$T = 2\pi a^{3/2}/\sqrt{GM}$	只依賴 $a$
vis-viva	$v^2 = GM(2/r - 1/a)$	任意位置速度
角動量守恆	$rv_\perp = h$	$v_\perp$ 為切向速度
離心率公式	$e^2 = 1 + 2\varepsilon h^2/(GM)^2$	連結能量與形狀

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7. 應用範例：霍曼轉移軌道

太空船從地球（$r_1=1\,\text{AU}$）轉移到火星（$r_2=1.52\,\text{AU}$）的最省燃料方案是霍曼轉移（Hohmann transfer）：沿橢圓軌道，近日點在地球軌道，遠日點在火星軌道。

\[a_H = \frac{r_1+r_2}{2} = \frac{1+1.52}{2} = 1.26\,\text{AU}\]

在 $r_1$ 處所需速度（vis-viva）：

\[v_1 = \sqrt{GM_\odot\!\left(\frac{2}{r_1} - \frac{1}{a_H}\right)}\]

相比地球公轉速度 $v_E = \sqrt{GM_\odot/r_1}$，需要額外 $\Delta v = v_1 - v_E \approx 2.9\,\text{km/s}$。

轉移時間（半個週期）：$t_H = T_H/2 = \pi a_H^{3/2}/\sqrt{GM_\odot} \approx 259\,\text{days}$。

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小結

• 能量 $\varepsilon = -GM/(2a)$：只依賴半長軸，不管離心率
• 角動量 $h^2 = GMa(1-e^2)$：依賴半長軸和離心率
• vis-viva：$v^2 = GM(2/r-1/a)$，任意位置速度的萬用公式
• 近/遠日點速度比 $= r_{\max}/r_{\min} = (1+e)/(1-e)$（角動量守恆）
• 離心率公式 $e^2 = 1+2\varepsilon h^2/(GM)^2$ 把能量、角動量、軌道形狀全部連結

下一篇將進入橢圓軌道的週期積分——用哈密頓–雅可比方法推導精確解，並說明為什麼這個積分不需要橢圓積分。

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