牛頓如何從克卜勒定律推出萬有引力：邏輯鏈全解析
從克卜勒三定律出發，一步一步推導萬有引力定律 F=GMm/r²。再反過來，從 F=GMm/r² 重新導出三定律，展示兩者的邏輯等價性。
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上一篇從萬有引力出發，用 Binet 方程式推導出橢圓軌道。這一篇走反方向：從克卜勒的觀測結果（三定律）出發，推導力的形式。牛頓真正的偉大，在於他能把這兩個方向都走通。
1. 問題設定
克卜勒（1609–1619）從第谷的觀測數據歸納出三定律：
- 軌道是橢圓，太陽在一焦點
- 等面積定律：行星-太陽連線等時掃等面積
- 週期定律：$T^2 \propto a^3$
牛頓的問題：這三個定律背後，是什麼樣的力？
2. 第二定律 → 力是連心力
等面積定律說：
\[\dv{A}{t} = \frac{1}{2}r^2\dot{\theta} = \text{const}\]即角動量 $L = mr^2\dot{\theta} = \text{const}$。
角動量守恆的充要條件是力矩為零，即力的方向通過固定點（太陽）。所以：
等面積定律 $\Leftrightarrow$ 力是指向太陽的連心力。
這一步不依賴力的大小，只依賴方向。
3. 第三定律 → 平方反比力
先考慮圓形軌道
設行星在半徑 $r$ 的圓形軌道上，週期 $T$，向心加速度：
\[a_c = \frac{4\pi^2 r}{T^2}\]克卜勒第三定律 $T^2 = kr^3$（$k$ 為常數），代入：
\[a_c = \frac{4\pi^2 r}{kr^3} = \frac{4\pi^2}{k} \cdot \frac{1}{r^2}\]向心力：
\[F = ma_c \propto \frac{1}{r^2}\]也就是說，圓形軌道版本的克卜勒第三定律，指向一種平方反比力（inverse-square force）。
推廣到橢圓軌道
對橢圓，類似的論證成立（需要用橢圓的幾何性質更仔細處理，牛頓在《原理》中用幾何方法完成）。結論相同：引力是平方反比力，$F \propto 1/r^2$。
4. 質量因子從牛頓力學補上
克卜勒定律描述的是行星軌道的加速度規律：在太陽造成的平方反比加速度場中，不同行星依相同規律運動。要把加速度改寫成力，還需要牛頓第二定律 $F=ma$，因此力必須正比於行星質量 $m$：
\[F = m\,a(r) \propto \frac{m}{r^2}\]再由牛頓第三定律與「任兩物體彼此吸引」的普遍性，太陽的質量 $M$ 也進入比例係數。實驗上可測得比例常數 $G$，得到：
\[\boxed{F = \frac{GMm}{r^2}}\]萬有引力常數 $G$ 吸收了比例係數，由卡文迪什扭秤實驗（1798）測定：$G \approx 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$。
5. 反方向：從 $F = GMm/r^2$ 推回三定律
第二定律
連心力 $\Rightarrow$ 力矩為零 $\Rightarrow$ 角動量守恆 $\Rightarrow$ 等面積定律。
第一定律
用 Binet 方程式（見上一篇）：
\[\dv[2]{u}{\theta} + u = \frac{GM}{h^2}\]令 $\ell = h^2/GM$，解可寫成：
\[u(\theta) = \frac{1+e\cos\theta}{\ell}\]也就是 $r = \ell/(1+e\cos\theta)$。當 $e<1$ 時，軌道就是橢圓。
第三定律
\[T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3\]已在上一篇推導。
6. 等效性的意義
| 克卜勒定律（觀測歸納） | 對應的動力學訊息 |
|---|---|
| 第一定律：橢圓軌道 | 軌道形狀與平方反比力相容（需與第二、第三定律合用） |
| 第二定律：等面積 | 力是連心力（無力矩） |
| 第三定律：$T^2 \propto a^3$ | 平方反比加速度場的強度固定，比例常數對同一中心天體相同 |
三定律合起來，能強烈指向「太陽提供連心的平方反比加速度場」。要得到完整的萬有引力定律 $F=GMm/r^2$，還需要牛頓運動定律、作用反作用，以及 $G$ 的實驗測定。
7. 月地檢驗
牛頓在《自然哲學的數學原理》第三卷命題四中，用月球軌道與地表重力做比較，論證「使月球偏離直線、留在軌道上的作用」與地表重力可視為同一種作用。下面用現代近似數值重做這個月地檢驗；原始論證可參見 Newton, Principia, Book III, Proposition IV（Andrew Motte 1729 英譯本第二冊）。
月球軌道半徑 $r_{\text{月}} \approx 60 R_\oplus$（地球半徑），月球向心加速度：
\[a_{\text{月}} = \frac{4\pi^2 r_{\text{月}}}{T_{\text{月}}^2}\]用 $T_{\text{月}} \approx 27.3\,\text{days}$，$r_{\text{月}} \approx 3.84\times10^8\,\text{m}$：
\[a_{\text{月}} \approx 2.72\times10^{-3}\,\text{m/s}^2\]若重力是平方反比力，地表重力加速度 $g \approx 9.8\,\text{m/s}^2$ 應滿足：
\[\frac{g}{a_{\text{月}}} = \left(\frac{r_{\text{月}}}{R_\oplus}\right)^2 = 60^2 = 3600\]驗算：$g/a_{\text{月}} \approx 9.8/0.00272 \approx 3603$ ✓
「使月球保持軌道的力」和「使蘋果落地的力」是同一個力——這就是「萬有」引力。
小結
- 克卜勒第二定律 $\Rightarrow$ 力是連心力（等面積 $\Leftrightarrow$ 角動量守恆）
- 第三定律（圓形軌道分析）$\Rightarrow$ 平方反比加速度，對應力 $\propto 1/r^2$
- 牛頓第二、第三定律與實驗補上質量因子與比例常數，得到 $F = GMm/r^2$
- 反方向很乾淨：$F = GMm/r^2$ 可推導出全部三定律
下一篇換一個視角：用有效位能和能量守恆，在不解方程式的情況下看清所有可能的軌道類型。
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