單擺為什麼不是簡諧運動？從能量守恆到精確週期公式
高中學到的單擺公式 T = 2pi*sqrt(L/g) 其實只是小角度近似。本文從牛頓力學出發，用能量守恆推導大角度單擺的精確週期積分，並透過半角代換導出以第一類橢圓積分 K(k) 表達的精確公式 T = 4*sqrt(L/g)*K(sin(theta_0/2))。
\(\require{physics}\)
你大概記得高中物理的單擺公式：
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]它漂亮、對稱，而且和擺角完全無關——不管你把擺錘拉到 5° 還是 30°，週期都一樣。
但這個公式是近似。一旦擺角夠大，週期就會開始依賴振幅，而那個「精確版本」會導向一個本質上積不出來的積分。
運動方程式：非線性才是真實
考慮擺長 $L$、質量 $m$ 的理想單擺。取擺角 $\theta$（與鉛直方向的夾角）為廣義坐標，對切線方向施用牛頓第二定律：
\[mL\ddot{\theta} = -mg\sin\theta\]化簡：
\[\boxed{\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0}\]這就是非線性單擺方程。它看起來很簡單，但 $\sin\theta$ 的存在讓它無法用初等函數解析求解。
小角度近似：$T = 2\pi\sqrt{L/g}$ 從哪裡來？
當 $\theta$ 夠小時，泰勒展開給出
\[\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \cdots \approx \theta\]代入運動方程式：
\[\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0\]這是標準的簡諧振動（SHM）方程式，解為
\[\theta(t) = \theta_0\cos\!\left(\sqrt{\frac{g}{L}}\,t + \varphi_0\right)\]角頻率 $\omega_0 = \sqrt{g/L}$，週期
\[T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]近似何時失效？
$\sin\theta$ 和 $\theta$ 的誤差來自三次項 $\theta^3/6$。在幾個代表角度下：
| $\theta_0$ | $\sin\theta_0$ | $\theta_0$（弧度） | 相對誤差 |
|---|---|---|---|
| $10°$ | $0.1736$ | $0.1745$ | $0.5\%$ |
| $30°$ | $0.5000$ | $0.5236$ | $4.7\%$ |
| $60°$ | $0.8660$ | $1.0472$ | $20.9\%$ |
| $90°$ | $1.0000$ | $1.5708$ | $57.1\%$ |
表 1： $\sin\theta$ 與 $\theta$（弧度）的比較。$\theta_0 \gtrsim 15°$ 後誤差開始明顯累積。
精確推導：能量守恆法
不用近似，改用能量守恆。
取最低點（$\theta = 0$）為位能零點。擺角為 $\theta$ 時高度差為 $L(1 - \cos\theta)$，總力學能為
\[E = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + mgL(1 - \cos\theta)\]若最大擺角為 $\theta_0$（此處 $\dot{\theta} = 0$），則
\[E = mgL(1 - \cos\theta_0)\]代入並整理：
\[\dot{\theta}^2 = \frac{2g}{L}(\cos\theta - \cos\theta_0)\]分離變數，取 $\dot{\theta} > 0$（往上擺的半程）：
\[\dd{t} = \sqrt{\frac{L}{2g}}\,\frac{\dd{\theta}}{\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0}}\]由對稱性，完整週期等於「從 $\theta = 0$ 擺到 $\theta = \theta_0$」所需時間的四倍：
\[T = 4\sqrt{\frac{L}{2g}}\int_0^{\theta_0} \frac{\dd{\theta}}{\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0}}\]這是精確的週期積分，但被積函數在 $\theta \to \theta_0$ 時分母趨近零（可積的瑕點），而且沒有初等函數原函數——它需要一個「新的函數」來命名。
半角代換：化為標準橢圓積分
用半角公式化簡根號內：
\[\cos\theta - \cos\theta_0 = 2\!\left(\sin^2\!\frac{\theta_0}{2} - \sin^2\!\frac{\theta}{2}\right)\]令
\[k = \sin\frac{\theta_0}{2}\]再做代換
\[\sin\frac{\theta}{2} = k\sin\phi\]微分關係為
\[\frac{1}{2}\cos\frac{\theta}{2}\,\dd{\theta} = k\cos\phi\,\dd{\phi} \implies \dd{\theta} = \frac{2k\cos\phi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}}\,\dd{\phi}\]根號項化為
\[\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0} = \sqrt{2\!\left(k^2 - k^2\sin^2\!\phi\right)} = \sqrt{2}\,k\cos\phi\]兩者相除：
\[\frac{\dd{\theta}}{\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0}} = \frac{2k\cos\phi\,\dd{\phi}/\!\sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}}{\sqrt{2}\,k\cos\phi} = \frac{\sqrt{2}\,\dd{\phi}}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}}\]積分上下限：$\theta\colon 0 \to \theta_0$ 對應 $\phi\colon 0 \to \pi/2$。代入後：
\[T = 4\sqrt{\frac{L}{2g}} \cdot \sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{\dd{\phi}}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}} = 4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\pi/2}\frac{\dd{\phi}}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}}\]右側積分就是第一類完全橢圓積分 $K(k)$，最終結果為
\[\boxed{T = 4\sqrt{\frac{L}{g}}\,K\!\left(\sin\frac{\theta_0}{2}\right)}\]小角度極限：回到 $T_0$
當 $\theta_0 \to 0$ 時，$k = \sin(\theta_0/2) \to 0$，而
\[K(0) = \int_0^{\pi/2}\frac{\dd{\phi}}{\sqrt{1}} = \frac{\pi}{2}\]代入：
\[T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = T_0 \checkmark\]精確公式在小角度極限下自然退化為高中公式。$T_0$ 不是錯的，只是 $K(k)$ 在 $k \to 0$ 時的特殊情況。
大角度週期修正
| 最大擺角 $\theta_0$ | $k = \sin(\theta_0/2)$ | $T/T_0$ | 誤差倍數 |
|---|---|---|---|
| $10°$ | $0.0872$ | $1.0019$ | $+0.2\%$ |
| $30°$ | $0.2588$ | $1.0174$ | $+1.7\%$ |
| $60°$ | $0.5000$ | $1.0732$ | $+7.3\%$ |
| $90°$ | $0.7071$ | $1.1803$ | $+18\%$ |
| $120°$ | $0.8660$ | $1.3729$ | $+37\%$ |
| $150°$ | $0.9659$ | $1.7622$ | $+76\%$ |
| $179°$ | $\approx 1$ | $\to \infty$ | — |
表 2： 精確週期 $T$ 與小角度公式 $T_0$ 的比值。$\theta_0 = 179°$ 時 $k \to 1$，$K(k) \to \infty$，週期發散。
越靠近 $\theta_0 = 180°$（倒立位置），週期趨近無限大——擺錘幾乎靜止在正上方，需要無限長時間才能決定往哪邊倒。
小結
| 小角度近似 | 精確公式 | |
|---|---|---|
| 適用條件 | $\theta_0 \lesssim 15°$ | 任意 $\theta_0 \in (0°, 180°)$ |
| 週期公式 | $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ | $T = 4\sqrt{L/g}\,K(\sin(\theta_0/2))$ |
| 與振幅關係 | 無關 | 隨 $\theta_0$ 增大而增大 |
| 數學本質 | 線性 ODE，解析可解 | 非線性 ODE，週期需橢圓積分 |
$K(k)$ 是什麼？為什麼它「積不出來」？下一篇會仔細定義它，並看它的行為與展開式。
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