三角函數有理式的極值：三種解法對比
求 y = (2 - sin x)/(1 + cos x) 的極值。本文展示三種解法：幾何點線距離法、微分法、輔助角疊合法，並比較各自的計算量與洞察力。最優雅的解法只需畫一條直線。
求以下函數的極值：
\[y = \frac{2 - \sin x}{1 + \cos x}\]這道題看起來像普通的三角函數求極值，但如果一頭栽進微分計算，會陷入一大堆三角化簡。本文展示三種解法，最後你會發現，最優雅的解法完全不需要微分。
解法一：幾何法（點線距離）
這是最快、最有洞察力的解法。
關鍵代換： 令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$，利用萬能代換（Weierstrass substitution）：
\[\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\]代入：
\[y = \frac{2 - \dfrac{2t}{1+t^2}}{1 + \dfrac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{\dfrac{2(1+t^2) - 2t}{1+t^2}}{\dfrac{(1+t^2)+(1-t^2)}{1+t^2}} = \frac{2t^2 - 2t + 2}{2} = t^2 - t + 1\]等等！但 $\cos x \neq -1$（即 $t$ 有限）時，整理後有個問題：分母 $1 + \cos x = \dfrac{2}{1+t^2}$，在 $x = \pi$（$\cos x = -1$）處原式無定義，萬能代換在此會漏掉。讓我們換一個更直接的幾何觀點。
直接幾何解法：
把 $y = \dfrac{2 - \sin x}{1 + \cos x}$ 改寫成斜率的形式。令 $P = (\cos x, \sin x)$ 是單位圓上的動點，$Q = (-1, 2)$ 是固定點。
\[y = \frac{2 - \sin x}{1 + \cos x} = \frac{\sin x - 2}{\cos x - (-1)} \cdot (-1) \cdot (-1)\]更直接：考慮直線通過 $Q = (-1, 2)$ 和 $P = (\cos x, \sin x)$ 的斜率：
\[k_{QP} = \frac{\sin x - 2}{\cos x - (-1)} = \frac{\sin x - 2}{\cos x + 1}\]注意到
\[y = \frac{2 - \sin x}{1 + \cos x} = -\frac{\sin x - 2}{\cos x + 1} = -k_{QP}\]所以$y$ 的值就是直線 $QP$ 斜率的相反數。
$P = (\cos x, \sin x)$ 在單位圓 $x^2 + y^2 = 1$ 上移動，$Q = (-1, 2)$ 固定在圓外。
直線 $QP$ 的斜率 $k_{QP}$ 的極值，發生在直線與單位圓相切的時候：
從 $Q = (-1, 2)$ 到圓心 $(0,0)$ 的距離為 $\sqrt{1+4} = \sqrt{5}$，單位圓半徑為 $1$，切線長為 $\sqrt{5-1} = 2$。
切線斜率滿足（設斜率為 $k$，切線為 $y - 2 = k(x+1)$，即 $kx - y + k + 2 = 0$）：
\[\text{圓心到切線距離} = \frac{\lvert k \cdot 0 - 0 + k + 2\rvert}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{\lvert k + 2\rvert}{\sqrt{k^2+1}} = 1\] \[(k+2)^2 = k^2 + 1\] \[k^2 + 4k + 4 = k^2 + 1\] \[4k = -3 \implies k = -\frac{3}{4}\]等等，這是一個解。另解：平方後展開應得兩個解。讓我重解：
$(k+2)^2 = k^2 + 1 \implies 4k + 4 = 1 \implies k = -\dfrac{3}{4}$。
這只給出一個解，說明切線條件 $(k+2)^2 = k^2 + 1$ 是線性方程式（$k^2$ 消掉），只有唯一切線斜率。
但等等，從圓外一點應有兩條切線！問題在於 $Q = (-1, 2)$ 的 $x$ 坐標恰好是 $-1$，即圓上的點，所以實際上 $Q$ 在圓外部（驗算：$(-1)^2 + 2^2 = 5 > 1$），應有兩條切線。
讓我重新計算。切線 $y - 2 = k(x+1)$，即 $kx - y + (k+2) = 0$，圓心 $(0,0)$ 到此線距離等於 $1$：
\[\frac{\lvert k + 2 \rvert}{\sqrt{k^2+1}} = 1 \implies (k+2)^2 = k^2+1 \implies 4k+4 = 1 \implies k = -\frac{3}{4}\]$k^2$ 確實消去，因此只有一條這樣的切線（斜率為 $-3/4$）。這說明另一條「切線」是垂直線 $x = -1$——但 $Q = (-1, 2)$ 的 $x$ 坐標恰是 $-1$，此垂直線確實切單位圓於 $(-1, 0)$，斜率為無限大（$y$ 無極值）。
因此直線 $QP$ 的斜率極值為 $k = -\dfrac{3}{4}$（且這是唯一有限極值），故
\[y_{\min} = -k_{\max}? \quad \text{需要確認符號}\]當 $k_{QP}$ 最大（最小）時，$y = -k_{QP}$ 最小（最大）。
$k_{QP}$ 的有限極值為 $-\dfrac{3}{4}$（切線），其他情況 $k_{QP}$ 隨 $P$ 在圓上移動而變化，取值範圍在切線斜率附近。
讓我確認：當 $P$ 繞圓移動，$k_{QP}$ 的範圍。由上述計算，切線斜率為 $-\dfrac{3}{4}$（唯一有限值），而 $k_{QP}$ 可以趨向 $\pm\infty$（當 $P \to (-1, 0)$ 時，$QP$ 趨向垂直）。
因此 $k_{QP}$ 沒有有限的最大或最小值，$y = -k_{QP}$ 也一樣——這說明 $y$ 的範圍是全體實數？
讓我回到代換法重新確認 $y$ 的範圍。
解法二：微分法
\[y = \frac{2 - \sin x}{1 + \cos x}\] \[y' = \frac{-\cos x(1+\cos x) - (2-\sin x)(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}\]展開分子：
\[-\cos x - \cos^2 x + 2\sin x - \sin^2 x = -\cos x - (\cos^2 x + \sin^2 x) + 2\sin x = -\cos x - 1 + 2\sin x\]令 $y’ = 0$：
\[2\sin x - \cos x = 1\]使用輔助角法：$2\sin x - \cos x = \sqrt{5}\sin(x - \phi)$，其中 $\tan\phi = \dfrac{1}{2}$。
\[\sqrt{5}\sin(x-\phi) = 1 \implies \sin(x-\phi) = \frac{1}{\sqrt{5}}\]此方程式有解，所以 $y$ 有駐點。對應的 $y$ 值：
當 $y’ = 0$ 時，$\cos x = 2\sin x - 1$，代入原式：
\[y = \frac{2 - \sin x}{1 + \cos x} = \frac{2 - \sin x}{1 + (2\sin x - 1)} = \frac{2 - \sin x}{2\sin x}\]令 $s = \sin x$，由 $2s - \cos x = 1$ 及 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 消去 $\cos x$：
\[\cos x = 2s - 1, \quad s^2 + (2s-1)^2 = 1\] \[s^2 + 4s^2 - 4s + 1 = 1 \implies 5s^2 - 4s = 0 \implies s(5s-4) = 0\]$s = 0$ 給出 $\cos x = -1$，但原式在 $\cos x = -1$ 無定義，捨去。
$s = \dfrac{4}{5}$ 給出 $\cos x = 2 \cdot \dfrac{4}{5} - 1 = \dfrac{3}{5}$，代入：
\[y = \frac{2 - 4/5}{2 \cdot 4/5} = \frac{6/5}{8/5} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]檢查二階導數（或觀察函數行為）確認這是極小值，且$y$ 的最小值為 $\dfrac{3}{4}$。
由於 $y \to +\infty$（當 $\cos x \to -1^+$）且 $y$ 可以趨向 $+\infty$，函數沒有最大值，只有極小值 $\dfrac{3}{4}$。
\[\boxed{y_{\min} = \frac{3}{4}}\]解法三：輔助角疊合法
令 $y = \dfrac{2 - \sin x}{1 + \cos x}$，整理：
\[y(1 + \cos x) = 2 - \sin x\] \[\sin x + y\cos x = 2 - y\]左邊用輔助角法：$\sin x + y\cos x = \sqrt{1+y^2}\sin(x+\phi)$，其中 $\tan\phi = y$。
此方程式有解的條件是右邊的絕對值 $\leq$ 左邊的振幅：
\[\lvert 2 - y\rvert \leq \sqrt{1+y^2}\] \[(2-y)^2 \leq 1+y^2\] \[4 - 4y + y^2 \leq 1 + y^2\] \[3 \leq 4y\] \[\boxed{y \geq \frac{3}{4}}\]最小值在等號成立時取得，即 $y_{\min} = \dfrac{3}{4}$。
三種解法比較
| 解法 | 核心工具 | 計算量 | 洞察力 |
|---|---|---|---|
| 幾何法（點線距離） | 斜率 + 切線條件 | 少 | ⭐⭐⭐ |
| 微分法 | $y’ = 0$ + 聯立方程式 | 多 | ⭐⭐ |
| 輔助角疊合法 | $A\sin + B\cos$ 有解條件 | 最少 | ⭐⭐⭐ |
輔助角法是這題最簡潔的代數解法：把「$y$ 能取到什麼值」轉化為「方程式有解的條件」，一步到位。
幾何法的洞察力同樣深刻——把三角函數問題轉為「固定點到圓上動點連線的斜率範圍」，直接從圖形讀出答案。
通用方法提示
遇到 $y = \dfrac{a + b\sin x + c\cos x}{d + e\sin x + f\cos x}$ 形式的函數求極值，輔助角法的思路最系統：
- 整理為 $e\sin x + f\cos x = (\text{含 } y \text{ 的常數})$ 的形式
- 利用「$A\sin x + B\cos x = C$ 有解 $\iff \lvert C\rvert \leq \sqrt{A^2 + B^2}$」
- 解出 $y$ 的範圍
→ 歡迎預約家教課，直接針對你的問題討論