碰撞問題完整攻略：彈性、非彈性、一維與二維
碰撞問題是高中物理的難題重點。本文系統整理彈性碰撞、完全非彈性碰撞的解題架構，推導一維彈性碰撞的速度公式，說明二維碰撞的分量列式方法，附質心系分析，幫你建立完整的解題流程。
兩個物體碰撞後，速度怎麼變？這個問題看似複雜，其實只需要兩條守恆律就能解決——但必須清楚知道什麼時候能用哪一條。
本文是動量守恆的進階應用，專注在碰撞問題的完整解題架構。
碰撞的基本分類
碰撞的分類標準是動能是否守恆：
| 類型 | 動量守恆 | 動能守恆 | 典型情況 |
|---|---|---|---|
| 完全彈性碰撞 | ✅ | ✅ | 理想撞球、原子碰撞 |
| 非完全彈性碰撞 | ✅ | ❌ | 大多數實際碰撞 |
| 完全非彈性碰撞 | ✅ | ❌（損失最多） | 黏在一起、子彈射入木塊 |
動量幾乎總是守恆（碰撞時間短，合外力衝量可忽略）。動能不一定守恆——損失的能量轉成熱能、聲能、形變能。
一維完全彈性碰撞：速度公式推導
設質量 $m_1$、初速 $v_1$，與質量 $m_2$、初速 $v_2$（靜止或運動）發生一維正碰。
聯立兩個守恆方程式：
動量守恆：
\begin{equation}\label{eq:collision-momentum} m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1’ + m_2 v_2’ \end{equation}
動能守恆：
\begin{equation}\label{eq:collision-kinetic-energy} \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1’^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2’^2 \end{equation}
整理 \eqref{eq:collision-momentum}：$m_1(v_1 - v_1’) = m_2(v_2’ - v_2)$
整理 \eqref{eq:collision-kinetic-energy}（乘以 2）：$m_1(v_1^2 - v_1’^2) = m_2(v_2’^2 - v_2^2)$
即 $m_1(v_1-v_1’)(v_1+v_1’) = m_2(v_2’-v_2)(v_2’+v_2)$
兩式相除（假設 $v_1 \neq v_1’$，即確實發生碰撞）：
\begin{equation}\label{eq:collision-relative-speed} v_1 + v_1’ = v_2’ + v_2 \implies v_1 - v_2 = v_2’ - v_1’ \end{equation}
\eqref{eq:collision-relative-speed} 有個優美的物理意義：彈性碰撞中，相對接近速度等於相對分離速度（恢復係數 $e = 1$）。
聯立 \eqref{eq:collision-momentum} 和 \eqref{eq:collision-relative-speed} 解出：
\begin{equation}\label{eq:elastic-collision-v1} \boxed{v_1’ = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_2} \end{equation}
\begin{equation}\label{eq:elastic-collision-v2} \boxed{v_2’ = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_2} \end{equation}
特殊情況速記
以 $v_2 = 0$（靜止目標）代入 \eqref{eq:elastic-collision-v1}、\eqref{eq:elastic-collision-v2}，觀察各種質量比的結果：
| 質量關係 | $v_1’$ | $v_2’$ | 物理圖像 |
|---|---|---|---|
| $m_1 = m_2$ | $0$ | $v_1$ | 完全速度轉移（撞球） |
| $m_1 \gg m_2$ | $\approx v_1$ | $\approx 2v_1$ | 重物幾乎不減速，輕物彈出 |
| $m_1 \ll m_2$ | $\approx -v_1$ | $\approx 0$ | 輕物反彈，重物不動（打牆） |
$m_1 = m_2$ 的情況是撞球比賽的物理原理：正碰後母球靜止，目標球以原速度前進。
完全非彈性碰撞（黏在一起）
碰後兩物體共同運動，速度相同 $v’$。只用動量守恆：
\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v'\]\begin{equation}\label{eq:perfectly-inelastic-velocity} \boxed{v’ = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}} \end{equation}
動能損失：
\[\Delta KE = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 - \frac{1}{2}(m_1+m_2)v'^2\]代入化簡後得到：
\begin{equation}\label{eq:inelastic-energy-loss} \Delta KE = \frac{m_1 m_2}{2(m_1+m_2)}(v_1 - v_2)^2 \geq 0 \end{equation}
動能損失量只與相對速度和約化質量（reduced mass）有關。
例題一：子彈射入木塊
質量 $m = 0.01\,\text{kg}$ 的子彈以 $v_0 = 400\,\text{m/s}$ 射入質量 $M = 1\,\text{kg}$ 的靜止木塊，嵌在裡面。求：(a) 共同速度，(b) 動能損失。
(a) 完全非彈性碰撞，套用 \eqref{eq:perfectly-inelastic-velocity}：
\[v' = \frac{mv_0}{m+M} = \frac{(0.01)(400)}{1.01} \approx 3.96\,\text{m/s}\](b) 動能損失，套用 \eqref{eq:inelastic-energy-loss}：
\[\Delta KE = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{1}{2}(m+M)v'^2 = 800 - \frac{1}{2}(1.01)(3.96)^2 \approx 800 - 7.9 \approx 792\,\text{J}\]動能損失高達 99%，幾乎全部轉為熱能（木塊發熱、子彈形變）。
例題二：一維彈性碰撞
質量 $3\,\text{kg}$ 的物體以 $4\,\text{m/s}$ 向右移動，撞上質量 $1\,\text{kg}$ 的靜止物體，發生彈性碰撞。求碰後各物體速度。
代入 \eqref{eq:elastic-collision-v1}、\eqref{eq:elastic-collision-v2}（$m_1 = 3$，$m_2 = 1$，$v_1 = 4$，$v_2 = 0$）：
\[v_1' = \frac{3-1}{3+1}(4) = \frac{2}{4}(4) = 2\,\text{m/s}\] \[v_2' = \frac{2(3)}{3+1}(4) = \frac{6}{4}(4) = 6\,\text{m/s}\]驗算動能： 碰前 $\frac{1}{2}(3)(16) = 24\,\text{J}$；碰後 $\frac{1}{2}(3)(4) + \frac{1}{2}(1)(36) = 6 + 18 = 24\,\text{J}$ ✓
二維碰撞
二維碰撞中，向量形式的動量守恆分解成兩個分量方程式：
\[m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 v_{1x}' + m_2 v_{2x}'\] \[m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y} = m_1 v_{1y}' + m_2 v_{2y}'\]若是彈性碰撞，再加上動能守恆，共三條方程式。但碰後有四個未知數（$v_{1x}’, v_{1y}’, v_{2x}’, v_{2y}’$），需要額外資訊（例如其中一個物體的碰後方向）才能完全求解。
例題三：二維彈性碰撞
質量相等（$m$）的兩球，第一顆以速度 $v_0$ 沿 $x$ 方向運動，碰上靜止的第二顆球。碰後第一顆球偏轉 $30°$，求兩球的速度大小和第二顆球的方向。
設第一顆球碰後速度為 $v_1’$、偏 $30°$；第二顆球速度為 $v_2’$、偏角 $\theta$（從 $x$ 軸量）。
$x$ 方向：$mv_0 = mv_1’\cos30° + mv_2’\cos\theta$
$y$ 方向：$0 = mv_1’\sin30° - mv_2’\sin\theta$
動能守恆（$m$ 相等）：$v_0^2 = v_1’^2 + v_2’^2$
特殊結論（等質量彈性碰撞）： 由動量守恆和動能守恆可以證明，等質量彈性碰撞後，兩物體的速度方向必定互相垂直（$v_1’ \perp v_2’$）。
所以 $\theta = 30° + 90° = 120°$（從 $x$ 軸量），或更直接：第二顆球偏向 $-(90°-30°) = -60°$（$x$ 軸下方 $60°$）。
代入動能守恆和一個動量分量即可求出 $v_1’$ 和 $v_2’$。
質心系分析：讓碰撞問題更簡單
在質心系（center of mass frame）中，系統的質心靜止，兩物體的動量大小相等方向相反。
質心速度：
\[v_\text{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}\]在質心系中，彈性碰撞後每個物體的速度大小不變，只有方向反轉（一維情況）。這讓分析非常乾淨——計算在質心系做，最後再加回質心速度轉換回實驗室系。
恢復係數
恢復係數（coefficient of restitution）$e$ 定義為：
\begin{equation}\label{eq:coefficient-of-restitution} e = \frac{\text{分離相對速度}}{\text{接近相對速度}} = \frac{v_2’ - v_1’}{v_1 - v_2} \end{equation}
| 碰撞類型 | 恢復係數 |
|---|---|
| 完全彈性碰撞 | $e = 1$ |
| 完全非彈性碰撞 | $e = 0$ |
| 一般非彈性碰撞 | $0 < e < 1$ |
用恢復係數 \eqref{eq:coefficient-of-restitution} 可以替代動能守恆方程式，搭配動量守恆方程式求解非完全彈性碰撞（已知 $e$ 的問題）。
解題流程總結
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確認碰撞類型
├─ 完全非彈性（黏在一起）
│ → 只列動量守恆，求共同速度
│
├─ 完全彈性（動能守恆）
│ 一維：用速度公式
│ 二維：列 x、y 方向動量守恆 + 動能守恆
│
└─ 給出恢復係數 e
→ 動量守恆 + 恢復係數方程式聯立
必備公式：
一維彈性碰撞（靜止目標 $v_2 = 0$）：
\[v_1' = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1, \qquad v_2' = \frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1\]完全非彈性碰撞：
\[v' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1+m_2}\]等質量彈性碰撞（$m_1 = m_2$，$v_2 = 0$）：$v_1’ = 0$，$v_2’ = v_1$。
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