動量守恆定律：為什麼子彈射出後槍會後退？
動量守恆定律說明：在沒有外力（或合外力為零）的系統內，總動量永遠不變。本文從牛頓第三定律推導守恆條件，說明守恆的物理意義，並以射擊後座力、爆炸、碰撞為例示範計算。
槍射出子彈時，槍托會向後撞擊肩膀——這叫「後座力」。子彈飛出去，槍卻往後退，動量是憑空消失了嗎？
答案是：沒有。子彈向前的動量和槍向後的動量加起來等於零，跟開槍前一模一樣。
這就是動量守恆定律（conservation of momentum）。
從牛頓第三定律推導
考慮一個由兩個物體 $A$、$B$ 組成的系統（例如子彈和槍）。它們之間有內力互相作用，但暫不考慮外力。
由牛頓第三定律，$A$ 對 $B$ 施的力和 $B$ 對 $A$ 施的力大小相等、方向相反：
\[\vec{F}_{A \to B} = -\vec{F}_{B \to A}\]對 $A$ 和 $B$ 分別應用衝量－動量定理，在時間 $\Delta t$ 內：
\[\vec{F}_{B \to A}\,\Delta t = \Delta\vec{p}_A, \qquad \vec{F}_{A \to B}\,\Delta t = \Delta\vec{p}_B\]兩式相加：
\[(\vec{F}_{B \to A} + \vec{F}_{A \to B})\,\Delta t = \Delta\vec{p}_A + \Delta\vec{p}_B\]由牛頓第三定律，左邊等於零，因此：
\[\Delta\vec{p}_A + \Delta\vec{p}_B = \vec{0}\] \[\boxed{\vec{p}_{A,\text{前}} + \vec{p}_{B,\text{前}} = \vec{p}_{A,\text{後}} + \vec{p}_{B,\text{後}}}\]系統的總動量不變。
動量守恆的條件
精確條件：合外力為零
推導中假設「無外力」，但更精確的說法是：系統所受合外力為零時，總動量守恆。
\[\vec{F}_{\text{合外}} = \vec{0} \implies \vec{p}_{\text{總}} = \text{常數}\]原因：內力成對出現（牛頓第三定律），互相抵銷，不影響系統總動量；只有外力才能改變系統的總動量。
分量守恆
動量是向量，守恆逐分量成立。若 $x$ 方向合外力為零，則 $x$ 方向動量守恆，即使 $y$ 方向有外力也不影響。
\[F_{\text{合},x} = 0 \implies p_{x,\text{總}} = \text{常數}\]這在斜面碰撞、二維爆炸問題中非常有用。
例題
例題一：後座力
一把槍（質量 $M = 2\,\text{kg}$）靜止，射出子彈（質量 $m = 0.01\,\text{kg}$，速度 $v = 600\,\text{m/s}$ 向右）。求槍的後退速度。
解： 射擊前系統靜止，總動量為零。射擊後：
\[p_{\text{子彈}} + p_{\text{槍}} = 0\] \[mv + MV = 0\] \[V = -\frac{mv}{M} = -\frac{(0.01)(600)}{2} = -3\,\text{m/s}\]槍以 $3\,\text{m/s}$ 向左後退。
例題二：爆炸分裂
一個靜止的物體（質量 $3\,\text{kg}$）爆炸後分成兩塊：質量 $1\,\text{kg}$ 的碎塊以 $6\,\text{m/s}$ 向右飛出，另一塊質量 $2\,\text{kg}$ 的速度為何？
解： 爆炸前總動量為零：
\[0 = (1)(6) + (2)v\] \[v = -3\,\text{m/s}\]質量 $2\,\text{kg}$ 的碎塊以 $3\,\text{m/s}$ 向左飛出。
例題三：完全非彈性碰撞
質量 $m_1 = 3\,\text{kg}$、速度 $v_1 = 4\,\text{m/s}$ 的物體，撞上靜止的質量 $m_2 = 1\,\text{kg}$ 物體後黏在一起，求共同速度。
解： 碰撞中兩物體的合外力可視為零（碰撞時間極短，外力的衝量遠小於內力的衝量），動量守恆：
\[m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = (m_1 + m_2)v'\] \[v' = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{(3)(4)}{3+1} = 3\,\text{m/s}\]例題四：二維碰撞
質量 $m = 0.5\,\text{kg}$ 的球以速度 $\vec{v} = (4\hat{i} + 0\hat{j})\,\text{m/s}$ 水平飛行，與一個靜止的同質量球碰撞後，第一顆球的速度變為 $\vec{v}_1’ = (1\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j})\,\text{m/s}$，求第二顆球的速度。
解： $x$、$y$ 方向分別守恆：
\[x:\quad m(4) = m(1) + mv_{2x}' \implies v_{2x}' = 3\,\text{m/s}\] \[y:\quad 0 = m\sqrt{3} + mv_{2y}' \implies v_{2y}' = -\sqrt{3}\,\text{m/s}\] \[\vec{v}_2' = \left(3\hat{i} - \sqrt{3}\hat{j}\right)\,\text{m/s}\]動量守恆 vs 能量守恆
碰撞問題中，動量守恆幾乎總是成立（只要碰撞時間短、外力可忽略）。但動能不一定守恆：
| 碰撞類型 | 動量守恆 | 動能守恆 |
|---|---|---|
| 完全彈性碰撞 | ✅ | ✅ |
| 非完全彈性碰撞 | ✅ | ❌（部分轉為熱能、聲能） |
| 完全非彈性碰撞（黏在一起） | ✅ | ❌（損失最多） |
動能損失的部分轉換成熱能、聲能、形變能等。只有在碰撞過程中沒有能量損失（例如理想的撞球或彈性碰撞）時，才能同時對動量和動能列方程式。
與質心的關係
系統的質心速度為：
\[\vec{v}_\text{cm} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + \cdots}{m_1 + m_2 + \cdots} = \frac{\vec{p}_\text{總}}{M_\text{總}}\]動量守恆 $\Leftrightarrow$ 質心速度不變。從質心系的角度看，這是最自然的表述：合外力為零時，質心做等速直線運動（或靜止）。
總結
| 條件 | 結論 |
|---|---|
| 合外力 $= \vec{0}$ | 總動量 $\vec{p}_\text{總}$ 為常數 |
| $x$ 方向合外力 $= 0$ | $p_{x,\text{總}}$ 守恆（$y$ 方向可有外力） |
| 碰撞時間極短 | 碰撞期間動量守恆（外力衝量可忽略） |
解題步驟：
- 確認系統邊界（哪些物體在系統內）
- 確認守恆方向（合外力哪個方向為零）
對動量守恆方向列方程式：
\[\sum_i m_i \vec{v}_{i,\text{前}} = \sum_i m_i \vec{v}_{i,\text{後}}\]- 若為彈性碰撞，再加動能守恆方程式
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