由單擺進入拉格朗日力學
牛頓力學用力向量描述運動；拉格朗日力學改用能量差。本文以單擺為例，介紹廣義坐標的概念，推導歐拉－拉格朗日方程式，並說明為何張力（約束力）在這個框架中自動消失。
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前一篇從能量的角度畫出了單擺的相圖，看到三種運動類型。這一篇要換一種視角重新推導同樣的運動方程式——用拉格朗日力學（Lagrangian mechanics）。
為什麼需要另一套力學？
牛頓力學的核心是 $\vb{F} = m\vb{a}$，非常直接。但實際問題常常有約束（constraint）：繩子把擺錘固定在圓弧上、小球在碗裡滾、珠子在導線上滑。
牛頓做法需要把約束力（張力、法向力）一起寫進方程式，然後再消去它。步驟繁瑣，而且約束力本身往往是我們不關心的量。
拉格朗日力學換了一個問題：
用「最少數量的坐標」描述系統，讓約束自動內建進去，再對「動能 − 位能」做變分，就能得到運動方程式，約束力自然不出現。
廣義坐標
考慮一個有 $n$ 個自由度的系統。廣義坐標（generalized coordinates）$q_1, q_2, \ldots, q_n$ 是描述系統所需的最少獨立變數，不一定是 $x, y, z$。
單擺的例子： 擺錘在平面上運動，受繩子約束在半徑 $L$ 的圓弧上。$x$ 和 $y$ 都不是獨立的（因為 $x^2 + y^2 = L^2$），只需一個廣義坐標：
\[q_1 = \theta \quad \text{（擺角）}\]整個運動完全由 $\theta(t)$ 決定，不需要另外處理繩子的張力。
拉格朗日量
拉格朗日量（Lagrangian）定義為動能減位能：
\[\begin{equation} \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) = T - V \label{eq:lagrangian} \end{equation}\]對單擺，擺錘的位置為
\[x = L\sin\theta, \qquad y = -L\cos\theta\]速度大小的平方：
\[v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = L^2\dot{\theta}^2\]動能：
\[T = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2\]取最低點（$\theta = 0$）為位能零點，高度差 $h = L(1 - \cos\theta)$，位能：
\[V = mgL(1 - \cos\theta)\]因此
\[\begin{equation} \boxed{\mathcal{L}(\theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 - mgL(1 - \cos\theta)} \label{eq:lagrangian-pendulum} \end{equation}\]歐拉－拉格朗日方程式
對每個廣義坐標 $q_i$，運動方程式由 歐拉－拉格朗日方程式（Euler–Lagrange equation，簡稱 E-L 方程式）給出：
\[\begin{equation} \dv{t} \pdv{\mathcal{L}}{\dot{q}_i} - \pdv{\mathcal{L}}{q_i} = 0 \label{eq:euler-lagrange} \end{equation}\]這個公式的推導來自最小作用量原理（principle of least action）：系統沿著讓作用量 $S = \int \mathcal{L}\,\dd{t}$ 取極值的路徑演化。這是比 $\vb{F} = m\vb{a}$ 更深層的物理原理，但本篇先把它當成「用能量推導運動方程的食譜」。
應用到單擺
利用單擺的拉格朗日量（式 $\eqref{eq:lagrangian-pendulum}$），計算各偏導數：
\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = mL^2\dot{\theta}\] \[\dv{t}\pdv{\mathcal{L}}{\dot{\theta}} = mL^2\ddot{\theta}\] \[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} = -mgL\sin\theta\]代入 E-L 方程式（式 $\eqref{eq:euler-lagrange}$）：
\[mL^2\ddot{\theta} - (-mgL\sin\theta) = 0\]即
\[\begin{equation} \boxed{\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin{\theta} = 0} \label{eq:euler-lagrange-pendulum} \end{equation}\]和第一篇的牛頓法結果完全一致——但整個推導中從未出現繩子的張力。張力是約束力，不對廣義坐標 $\theta$ 做功，在拉格朗日框架中自然隱去。
廣義動量與守恆律
對應廣義坐標 $q_i$ 的廣義動量（generalized momentum）定義為：
\[\begin{equation} p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \label{eq:generalized-momentum} \end{equation}\]對單擺：
\[p_\theta = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = mL^2\dot{\theta}\]這正是角動量。E–L 方程式可以改寫成：
\[\dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\]如果 $\mathcal{L}$ 不顯含某個廣義坐標 $q_i$，就稱為循環坐標（cyclic coordinate），則 $\partial\mathcal{L}/\partial q_i = 0$，對應的廣義動量守恆：
\[\dot{p}_i = 0 \implies p_i = \text{const}\]範例： 在連心力場中，若 $\mathcal{L}$ 不依賴極角 $\phi$（旋轉對稱），則角動量守恆——這正是諾特定理（Noether’s theorem）的最簡單例子：對稱性 $\Leftrightarrow$ 守恆律。
小角度極限
把 $\sin\theta \approx \theta$ 代入，運動方程式變成：
\[\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0\]解為 $\theta(t) = \theta_0\cos(\omega_0 t)$，角頻率 $\omega_0 = \sqrt{g/L}$。
在拉格朗日觀點裡，這等價於把位能近似為
\[V \approx \frac{1}{2}mgL\theta^2\]此時 $\mathcal{L} \approx \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 - \frac{1}{2}mgL\theta^2$，這是一個「彈簧系統」的拉格朗日量，其中「等效彈簧常數」為 $k_{\text{eff}} = mgL$。
拉格朗日 vs 牛頓：比較
| 牛頓力學 | 拉格朗日力學 | |
|---|---|---|
| 基本量 | 力 $\vb{F}$ （向量） | 能量 $T - V$ （純量） |
| 方程式 | $\vb{F} = m\vb{a}$（每個方向一條） | E-L 方程式（每個自由度一條） |
| 約束處理 | 需要列出約束力 | 約束自動內建於廣義坐標中 |
| 適用情境 | 簡單幾何，力好計算 | 複雜幾何、旋轉系統、場論 |
| 單擺 | 需要分析張力 | $\theta$ 一個方程式，張力不出現 |
拉格朗日力學的真正威力在複雜系統（多體、旋轉、場論）中才完全顯現。對單擺來說，兩種方法都能做到；但拉格朗日方法更容易推廣——例如雙擺、球面擺、廣義相對論的測地方程都用同一套架構。
小結
- 廣義坐標 $q_i$：描述系統最少的獨立自由度，約束自動內建
- 拉格朗日量 $\mathcal{L} = T - V$：用純量能量描述動力學
- E–L 方程式：每個廣義坐標一條，見式 $\eqref{eq:euler-lagrange}$
- 廣義動量：循環坐標對應守恆量，定義見式 $\eqref{eq:generalized-momentum}$
- 對單擺：$\mathcal{L} = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 - mgL(1-\cos\theta)$，張力在推導中自動消失
下一篇從拉格朗日量出發，透過勒壤得變換（Legendre transform）建立哈密頓力學，並看哈密頓量如何自然地給出相空間的幾何結構。
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