正方體等效電阻（六）：圖論入門——把電路翻譯成矩陣
電路可以用圖來描述：節點是頂點，電阻是帶權重的邊。把這個想法寫成矩陣，就得到圖 Laplacian L = D - A。本文從小例子出發，推導出 KCL 的矩陣形式 Lv = i，並寫出正方體電路的 8×8 Laplacian 矩陣。立方晶格等效電阻系列第六篇。
前五篇，我們用對稱性把方程組從 6 條壓縮到 2～4 條，再手解線性方程組。這個流程每換一種連法就要重來一遍。
現在換個視角：不問「怎麼解」，先問「這個電路長什麼樣子」。把電路翻譯成圖（graph），再把圖翻譯成矩陣，就能找到一個通用的矩陣方程式——不論哪種連法，不論多大的電路，都套同一套框架。
這篇介紹這個翻譯的語言：圖論與圖 Laplacian。
電路就是加權圖
圖（graph） 由兩個集合組成：
- 頂點集 $V = \{0, 1, \ldots, n-1\}$（對應電路的節點）
- 邊集 $E$（對應電路的電阻）
加權圖（weighted graph） 在每條邊 $(i,j)$ 上附加一個正數權重 $w_{ij}$。
在電路問題裡，邊的自然權重是電導（conductance）：
\[w_{ij} = G_{ij} = \frac{1}{R_{ij}}\]用電導而非電阻，是因為 KCL 的電流公式是「電導 × 電位差」：$I_{j\to i} = G_{ij}(v_j - v_i)$——電導讓公式更線性。
翻譯對照表
電路語言 圖語言 節點 頂點 $i \in V$ 電阻 $R_{ij}$ 邊 $(i,j) \in E$ 電導 $G_{ij} = 1/R_{ij}$ 邊的權重 $w_{ij}$ KCL 方程式 矩陣方程式 $L\mathbf{v} = \mathbf{i}$
鄰接矩陣 $A$
鄰接矩陣（adjacency matrix） $A$ 是一個 $n\times n$ 矩陣，記錄每對頂點之間的連接強度：
\[A_{ij} = \begin{cases} G_{ij} & \text{若 } (i,j) \in E \\ 0 & \text{否則} \end{cases}\]$A$ 是對稱矩陣（$A_{ij} = A_{ji}$），因為電阻網路中電流可以雙向流動。
三角形電路（暖身例子）
三個節點 $\{1,2,3\}$ 兩兩相連，每條邊電阻均為 $R$，電導 $G = 1/R$：
\[A = \begin{pmatrix} 0 & G & G \\ G & 0 & G \\ G & G & 0 \end{pmatrix} = G\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]度矩陣 $D$
頂點 $i$ 的加權度（weighted degree） 是它所有邊的電導之和：
\[d_i = \sum_{j \sim i} G_{ij}\]度矩陣（degree matrix） $D$ 是對角矩陣，$D_{ii} = d_i$，$D_{ij} = 0$（$i \neq j$）。
物理意義：$d_i$ 是節點 $i$ 的「總電導」——從節點 $i$ 流向所有鄰居的電流，等於 $d_i$ 乘以節點 $i$ 的電位（若其他節點電位皆為零）。
三角形電路（續）
每個節點各有 2 條邊，每條電導 $G$，所以 $d_1 = d_2 = d_3 = 2G$：
\[D = \begin{pmatrix} 2G & 0 & 0 \\ 0 & 2G & 0 \\ 0 & 0 & 2G \end{pmatrix} = 2G\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 2GI\]圖 Laplacian $L = D - A$
圖 Laplacian（圖拉普拉斯矩陣）定義為：
\[\boxed{L = D - A}\]用元素寫出來：
\[L_{ij} = \begin{cases} d_i = \displaystyle\sum_{k \sim i} G_{ik} & i = j \\ -G_{ij} & (i,j)\in E \\ 0 & \text{否則} \end{cases}\]三角形電路（續）
\[L = D - A = G\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\]每列之和為零：$2-1-1=0$。這不是巧合——下一節會解釋原因。
KCL 的矩陣形式：$L\mathbf{v} = \mathbf{i}$
現在推導 $L\mathbf{v} = \mathbf{i}$ 如何等價於 KCL。
設 $\mathbf{v} = (v_0, v_1, \ldots, v_{n-1})^\top$ 是各節點電位，$\mathbf{i} = (i_0, i_1, \ldots, i_{n-1})^\top$ 是各節點外部注入電流（$i_k > 0$ 表示外部電源把電流打進節點 $k$，$i_k < 0$ 表示抽出）。
計算 $(L\mathbf{v})_k$，即矩陣 $L$ 第 $k$ 列與 $\mathbf{v}$ 的內積：
\[\begin{aligned} (L\mathbf{v})_k &= \sum_j L_{kj}\,v_j \\ &= D_{kk}\,v_k + \sum_{j \neq k} L_{kj}\,v_j \\ &= d_k\,v_k - \sum_{j \sim k} G_{kj}\,v_j \\ &= \sum_{j \sim k} G_{kj}\,v_k - \sum_{j \sim k} G_{kj}\,v_j \\ &= \sum_{j \sim k} G_{kj}(v_k - v_j) \end{aligned}\]最後這個式子是什麼？正是從節點 $k$ 流向所有鄰居的電流總和。
KCL 說「穩態下，每個節點的淨電流為零」：從外部注入的電流 $i_k$，必須等於從該節點流出到網路的電流：
\[i_k = \sum_{j \sim k} G_{kj}(v_k - v_j) = (L\mathbf{v})_k\]對所有節點同時寫出，就是：
\[\boxed{L\mathbf{v} = \mathbf{i}}\]KCL 就是圖 Laplacian 方程式。 不需要逐節點列方程——把電路的幾何結構編碼進 $L$ 之後，這一個矩陣方程式自動包含了所有節點的 KCL。
$L$ 的四個關鍵性質
性質一：對稱性 $L^\top = L$
因為 $G_{ij} = G_{ji}$（電阻是無方向性元件）。
性質二：每列之和為零 $L\mathbf{1} = \mathbf{0}$
\[\sum_j L_{kj} = d_k + \sum_{j \sim k}(-G_{kj}) = d_k - d_k = 0\]物理意義：若所有節點電位相同（$\mathbf{v} = c\mathbf{1}$），沒有任何電流流動，所以 $L(c\mathbf{1}) = \mathbf{0}$。
性質三：正半定（PSD） $\mathbf{x}^\top L \mathbf{x} \geq 0$
利用恆等式（可由定義直接展開）：
\[\mathbf{x}^\top L \mathbf{x} = \sum_{(i,j)\in E} G_{ij}(x_i - x_j)^2 \geq 0\]每一項都是非負的，所以整體非負。
性質四：零空間為 $\operatorname{span}\{\mathbf{1}\}$（連通圖）
由性質二知 $\mathbf{1} \in \ker L$。對連通圖，可以證明這是唯一的零向量方向：若 $L\mathbf{x} = \mathbf{0}$，則 $\mathbf{x}^\top L\mathbf{x} = \sum_{(i,j)} G_{ij}(x_i-x_j)^2 = 0$，由連通性得所有相鄰節點的電位差均為零，故 $\mathbf{x} = c\mathbf{1}$。
結論：$n$ 節點連通圖的 $L$ 是奇異矩陣，$\operatorname{rank}(L) = n-1$，$\ker(L) = \operatorname{span}\{\mathbf{1}\}$。
這正是電路的物理：電壓是相對的，必須選定接地節點才能確定唯一解。
正方體的節點編號與 $L$ 矩陣
二進位節點編號
把正方體 8 個頂點的三維坐標 $(x,y,z)$ 直接編碼成整數：節點 $k$ 的坐標為 $k$ 的二進位表示 $(k_2, k_1, k_0)$，其中 $k = 4k_2 + 2k_1 + k_0$。
| 節點 $k$ | 二進位 | 坐標 $(x,y,z)$ | 系列前五篇的稱呼 |
|---|---|---|---|
| 0 | 000 | $(0,0,0)$ | 起點 $A$ |
| 1 | 001 | $(0,0,1)$ | — |
| 2 | 010 | $(0,1,0)$ | — |
| 3 | 011 | $(0,1,1)$ | — |
| 4 | 100 | $(1,0,0)$ | — |
| 5 | 101 | $(1,0,1)$ | — |
| 6 | 110 | $(1,1,0)$ | — |
| 7 | 111 | $(1,1,1)$ | 體對角線終點 $H$ |
相鄰判準：節點 $i$ 和 $j$ 相鄰，若且唯若 $i \oplus j$（位元互斥或）是 $1$、$2$、$4$ 之一——即兩者恰好有一個二進位位元不同。
這個編號的優點是：體對角線的兩端剛好是 $0$ 和 $7$（二進位全 $0$ 和全 $1$），在矩陣裡最好找。
鄰接矩陣 $A$（以 $1/R$ 為單位）
正方體每條邊電導 $G = 1/R$，12 條邊如下：
\[\{(0,1),(0,2),(0,4),(1,3),(1,5),(2,3),(2,6),(3,7),(4,5),(4,6),(5,7),(6,7)\}\]其中 $(i,j)$ 的電導 $= 1/R$，其餘為 $0$。由於所有邊的電導相同，可以把 $1/R$ 提出：$A = \tilde{A}/R$，其中 $\tilde{A}$ 的元素只有 $0$ 和 $1$。
度矩陣 $D$
正方體的每個節點恰好有 $3$ 條邊，所以：
\[D = \frac{3}{R}\,I_8\]圖 Laplacian（把 $1/R$ 提出）
\[L = \frac{1}{R}\,\tilde{L}, \qquad \tilde{L} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 3 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\]驗證幾個位置：
- 對角線 $\tilde{L}_{kk} = 3$（每個節點度數為 3）
- $\tilde{L}_{07} = 0$：節點 $0$（$000$）與節點 $7$（$111$）差了三個位元，不相鄰
- $\tilde{L}_{37} = -1$：節點 $3$（$011$）與節點 $7$（$111$）差了一個位元，相鄰
每列之和均為 $3 + (-1)\times3 = 0$，符合性質二。
對稱性在矩陣裡的痕跡
第三篇和第五篇用對稱群 $S_3$ 把節點分成軌道，等價於說：對應的坐標置換 $\sigma$ 作用在節點編號上，會把 $\tilde{L}$ 的某些列（行）互換，而 $\tilde{L}$ 保持不變——即 $P_\sigma \tilde{L} P_\sigma^\top = \tilde{L}$，其中 $P_\sigma$ 是置換矩陣。
同軌道節點的電位相同，等效於把 $\tilde{L}$ 按軌道合併成商矩陣（quotient matrix），這正是前幾篇手工對稱化簡的矩陣語言翻譯版本。
為什麼要建立這套語言？
目前我們只是把熟悉的 KCL 重寫成 $L\mathbf{v} = \mathbf{i}$，看起來只是換個記法。真正的威力在下一篇：
- 不需要對稱性假設：只要有 $L$，就能對任意連法、任意電路直接求解
- 等效電阻有閉合公式：$R_\text{eff}(a,b) = (\mathbf{e}_a - \mathbf{e}_b)^\top L^+ (\mathbf{e}_a - \mathbf{e}_b)$，其中 $L^+$ 是 $L$ 的 Moore–Penrose 擬逆（pseudoinverse）
- 可以同時算出所有連法：不需要重新列方程，換端點只需換向量 $\mathbf{e}_a - \mathbf{e}_b$
預告：第七篇將從 $\tilde{L}$ 出發，用矩陣擬逆一次算出正方體三種連法的等效電阻，並用 Python 驗算：$5R/6$、$3R/4$、$7R/12$——全部正確。
小結
| 概念 | 定義 | 電路意義 |
|---|---|---|
| 頂點集 $V$ | 節點 $\{0,\ldots,n-1\}$ | 電路節點 |
| 邊集 $E$，權重 $G_{ij}$ | 帶電導的連接 | 電阻 $R_{ij} = 1/G_{ij}$ |
| 鄰接矩陣 $A$ | $A_{ij} = G_{ij}$ | 電導矩陣 |
| 度矩陣 $D$ | $D_{ii} = \sum_{j\sim i} G_{ij}$ | 節點總電導 |
| 圖 Laplacian $L = D-A$ | $L_{ij}$ 見上 | KCL 係數矩陣 |
| $L\mathbf{v} = \mathbf{i}$ | — | 全電路的 KCL 方程組 |
| $\ker L = \operatorname{span}\{\mathbf{1}\}$ | — | 電壓是相對量，需接地 |
【系列待續】