正方體等效電阻（一）：節點電壓法入門
一個正方體的 12 條邊上各有一顆電阻 R，體對角線兩端的等效電阻是多少？從節點電壓法出發，用對稱性把 6 個內部未知電位壓縮成 2 個，列 KCL 方程式得出 5R/6。立方晶格等效電阻系列第一篇。
一個正方體，12 條邊上各有一顆電阻 $R$。把電源接在體對角線的兩個頂點，等效電阻是多少？
圖 1： 正方體電阻網路全圖。12 條邊的電阻均為 $R$。電源接在體對角線的兩個頂點 $A$ 和 $H$。
這是一道赫赫有名的競賽物理題，答案是
\[\boxed{R_{\text{eq}} = \frac{5}{6}R}\]漂亮到令人懷疑——但它確實是對的，而且有不只一種推導方法。這個系列會從最基礎的節點電壓法（node voltage method）出發，一路拓展到對稱群與圖 Laplacian。
這篇先把第一層完整走完。
建立坐標與標記節點
把正方體放進坐標系，每個頂點用三個 0 或 1 的坐標表示。8 個頂點是 $(x, y, z)$，其中 $x, y, z \in \{0, 1\}$。
- 起點 A：$(0,0,0)$，接電源正極，設電位 $V_A = 1$。
- 終點 H：$(1,1,1)$，接電源負極，設電位 $V_H = 0$。
- 中間 6 個節點：電位待求。
相鄰節點之間（即恰好有一個坐標不同的兩點之間）有一顆電阻 $R$，共 12 顆。
圖 2： 正方體頂點的坐標標記：$(0,0,0)$ 至 $(1,1,1)$，三條坐標軸 $x,y,z$ 以箭頭標示。
節點電壓法的核心邏輯
要解電路，只需兩件工具：
歐姆定律（Ohm’s law）： 電阻 $R$ 兩端電位差為 $\Delta V$，通過的電流為
\[I = \frac{\Delta V}{R} = \frac{V_{\text{高}} - V_{\text{低}}}{R}\]克希荷夫電流定律（Kirchhoff’s current law，KCL）： 在穩定電路中，每個內部節點流入的電流總和等於流出的電流總和：
\[\sum_{\text{鄰居 }j} \frac{V_j - V_i}{R} = 0 \label{eq1:kcl}\]也就是說：對每個未知電位的節點 $i$，把它和所有鄰居之間的電流加起來等於零。這樣可以列出恰好足夠的方程式來解出所有未知節點的電位。
（為什麼這兩條定律成立、它們的物理意義是什麼？這是下一篇的主題。）
對稱性：8 個節點只有 4 種
6 個未知節點，理論上要列 6 條方程式——但是可以做得更聰明。
觀察這個電路的幾何結構：把起點 A 和終點 H 固定，其他節點的位置有很強的對稱性。
B 型節點：$(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$——三個節點在幾何上完全等價，與 A 的距離相同，連接方式相同。把 $x, y, z$ 坐標任意交換，這三個節點會互相映射，卻不影響電路結構。所以它們的電位必然相等，記為 $b$。
C 型節點：$(1,1,0)$、$(1,0,1)$、$(0,1,1)$——同理，與 H 的距離相同，電位必然相等，記為 $c$。
這個「等價節點電位相等」的論證有更嚴格的數學基礎（見第三篇），但物理直覺足以支撐：如果一個對稱操作讓電路回到完全相同的狀態，它就不能改變任何節點的電位。
電位分布：
| 節點類型 | 節點 | 電位 |
|---|---|---|
| 起點 A | $(0,0,0)$ | $1$ |
| B 型（3 個） | $(1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1)$ | $b$ |
| C 型（3 個） | $(1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1)$ | $c$ |
| 終點 H | $(1,1,1)$ | $0$ |
圖 3： 12 條邊各有電阻 $R$ 的正方體。節點依對稱性分為 4 類：起點 A、B 型、C 型、終點 H（對稱性的嚴格討論見第三篇）。
6 個方程式簡化成 2 個未知數。
列 KCL 方程式
B 型節點（以 $(1,0,0)$ 為代表）
$(1,0,0)$ 的三個鄰居是：
\[(0,0,0) = A, \quad (1,1,0) = C, \quad (1,0,1) = C\]KCL：流向 $(1,0,0)$ 的電流總和為零：
\[\frac{1 - b}{R} + \frac{c - b}{R} + \frac{c - b}{R} = 0\]整理（乘以 $R$）：
\[(1 - b) + 2(c - b) = 0 \implies 3b - 2c = 1 \tag{1}\label{eq1:b-kcl}\]C 型節點（以 $(1,1,0)$ 為代表）
$(1,1,0)$ 的三個鄰居是：
\[(1,0,0) = B, \quad (0,1,0) = B, \quad (1,1,1) = H\]KCL：
\[\frac{b - c}{R} + \frac{b - c}{R} + \frac{0 - c}{R} = 0\]整理：
\[2(b - c) - c = 0 \implies 3c - 2b = 0 \tag{2}\label{eq1:c-kcl}\]
圖 4： 用對稱性分類後，只要對 B 型與 C 型各選一個代表節點列 KCL；其他同類節點的方程式會完全相同。
解方程式
由 $\eqref{eq1:c-kcl}$：
\[b = \frac{3c}{2}\]代入 $\eqref{eq1:b-kcl}$：
\[3 \cdot \frac{3c}{2} - 2c = 1 \implies \frac{9c}{2} - 2c = 1 \implies \frac{5c}{2} = 1 \implies c = \frac{2}{5}\]因此：
\[b = \frac{3}{5}, \qquad c = \frac{2}{5}\]計算等效電阻
起點 A 連到 3 個 B 型節點，每條邊的電流為
圖 5： 三個 B 型節點電位相同，所以從 A 流出的三條邊電流也相同，總電流是單條電流的 3 倍。
\[I_{\text{每條}} = \frac{V_A - b}{R} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{R} = \frac{2}{5R}\]從 A 流出的總電流：
\[I = 3 \times \frac{2}{5R} = \frac{6}{5R}\]等效電阻：
\[R_{\text{eq}} = \frac{\Delta V}{I} = \frac{1}{\frac{6}{5R}} = \boxed{\frac{5R}{6}} \label{eq1:req}\]物理直覺：三層並聯串聯驗算
電流從 A 到 H 必須依序通過三個「層次」，每層有若干條等價的並聯邊：
- A → B 層：3 條邊並聯，等效 $\dfrac{R}{3}$。
- B → C 層：每個 B 型節點各連 2 個 C 型節點，共 $3 \times 2 = 6$ 條邊並聯，等效 $\dfrac{R}{6}$。
- C → H 層：3 條邊並聯，等效 $\dfrac{R}{3}$。
由對稱性知各層電流均勻分布，三層串聯：
\[\frac{R}{3} + \frac{R}{6} + \frac{R}{3} = \frac{2R + R + 2R}{6} = \frac{5R}{6}\]這與節點電壓法結果完全一致，也是一個直觀的驗算。
圖 6： 把電位相同的節點合併後，正方體電路等效為 A-B-C-H 四節點的小電路；三段分別對應 $3,6,3$ 條等價邊（「等電位節點可以合併」的嚴格證明見第三篇）。
解題流程總結
flowchart TD
A["設起點電位 = 1，終點電位 = 0"] --> B["用對稱性分類節點<br/>減少未知數"]
B --> C["對每類代表節點<br/>列 KCL 方程式"]
C --> D["解線性方程組<br/>得各類節點電位"]
D --> E["計算起點流出電流 I"]
E --> F["R_eq = ΔV / I"]
| 節點類型 | 電位 | 坐標中 1 的個數 |
|---|---|---|
| A（起點） | $1$ | $0$ 個 |
| B 型 | $3/5$ | $1$ 個 |
| C 型 | $2/5$ | $2$ 個 |
| H（終點） | $0$ | $3$ 個 |
注意電位並不是等間距遞減（$1, \frac23, \frac13, 0$），而是 $1, \frac35, \frac25, 0$。這是因為 B→C 段比 A→B 段有更多電阻可以並聯，所以電位降落較小。
圖 7： A、B、C、H 的電位依序下降，但下降量不平均；這反映了不同段落的並聯通道數不同。
主要結論：12 個 $R$ 的正方體電阻網路，體對角線兩端的等效電阻為
\[R_{\text{eq}} = \frac{5}{6}R\]對稱性把 6 個內部未知電位壓縮成 2 個，只需解 $2\times 2$ 線性方程組即可得出。
注意：在 1×1×1 的立方體中，「坐標中 1 的個數」（即到起點 A 的曼哈頓距離）恰好與節點的等電位類別一一對應——但這只是此特例的巧合，不是一般分類依據。在更大的晶格（例如 2×2×2，共 27 個節點）中，曼哈頓距離相同的節點電位不一定相同，必須用第三篇的對稱群軌道來正確分類。
下一步
這個解法有兩個「魔法」步驟：
為什麼可以說等電位節點的電位相等？ 這需要把「對稱操作」說清楚——第三篇：對稱性幫你少列方程式。
KCL 本身為什麼成立？ 它不是定義，而是從電荷守恆推導出來的——第二篇：克希荷夫定律的物理根源。
再下一個問題：如果把立方體換成 $2\times2\times2$ 的晶格（27 個節點）呢？方法相同，但要仔細處理更多層次的對稱性。那是系列後續要探討的核心問題。