半衰期是什麼意思？從指數衰變到放射性定年
半衰期是核物理最常被誤解的名詞之一。本文從指數衰變的數學形式出發，定義半衰期與活度（貝克、居里），說明為什麼不同核種的半衰期能從微秒跨到數十億年，並用放射性碳定年法示範半衰期公式的實際應用。
《核物理與游離輻射系列》：①原子核結構 ｜ ②αβγ衰變 ｜ ③半衰期 ｜ ④輻射劑量 ｜ ⑤核分裂 ｜ ⑥核融合 ｜ ⑦核能發電 ｜ ⑧核廢料
Q 值只告訴你「能不能」，不告訴你「多快」
上一篇談到，鈾-238 的 $\alpha$ 衰變 Q 值是正的（約 $4.27\,\mathrm{MeV}$），代表這個衰變在能量上是被允許的。但「允許發生」和「真的很快發生」是兩回事——這就像化學反應的 $\Delta G<0$ 不代表反應速率一定很快，還要看活化能。
原子核的情況也一樣：$\alpha$ 粒子雖然在能量上「可以」離開原子核，但它得先用量子穿隧的方式，穿過庫侖排斥形成的位能障壁。這個障壁擋不擋得住，決定了「多快」——也就是這篇文章要談的半衰期。
直覺：半衰期是指數衰變的招牌特徵
半衰期（half-life） $T_{1/2}$：一群放射性原子核，衰變到剩下一半所需要的時間。
指數衰變最特別的地方是：不管你從多少原子核開始算，半衰期都一樣。 100 顆原子核用 $T_{1/2}$ 減半成 50 顆；50 顆再用同樣的 $T_{1/2}$ 減半成 25 顆——半衰期不會因為「剩下比較少」就變長或變短。這是指數函數獨有的性質，也是放射性衰變和大部分「線性消耗」的過程（例如燃燒一根蠟燭）最不一樣的地方。
正式推導：從指數衰變到半衰期公式
放射性原子核的數量 $N(t)$ 滿足的微分方程式，以及它的解
\[\dv{N}{t}=-\lambda N\qquad\Longrightarrow\qquad N(t)=N_0e^{-\lambda t}\]這正是可分離變數的微分方程式一文中已經完整推導過的指數衰變模型，這裡直接沿用結論，重點放在物理量的定義上。式中的 $\lambda$ 叫做衰變常數（decay constant），代表每單位時間，每顆原子核衰變的機率。
半衰期
令 $N(T_{1/2})=\dfrac{N_0}2$：
\[\frac{N_0}2=N_0e^{-\lambda T_{1/2}}\quad\Longrightarrow\quad e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad\boxed{T_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda}}\]$\lambda$ 愈大，代表衰變愈快，半衰期就愈短。
活度：真正能被儀器測到的量
實驗室裡沒辦法直接數「還剩幾顆原子核」，但可以測量每秒鐘發生幾次衰變，這就是活度（activity）：
\[A=-\dv{N}{t}=\lambda N\]活度的標準單位是貝克（becquerel, Bq）：$1\,\mathrm{Bq}=1$ 次衰變/秒。舊制單位是居里（curie, Ci）：
\[1\,\mathrm{Ci}=3.7\times10^{10}\,\mathrm{Bq}\]（這個數字的由來，正是 $1\,\mathrm g$ 鐳-226 的活度。）
例題一：活度計算與單位換算
假設某放射性樣品中有 $6.0\times10^{15}$ 顆原子核，衰變常數 $\lambda=1.2\times10^{-4}\,\mathrm s^{-1}$，求活度並換算成居里。
\[A=\lambda N=(1.2\times10^{-4})\times(6.0\times10^{15})=7.2\times10^{11}\,\mathrm{Bq}\]換算成居里：
\[A=\frac{7.2\times10^{11}}{3.7\times10^{10}}\approx19.5\,\mathrm{Ci}\]例題二：為什麼半衰期能從微秒跨到數十億年？
同樣都是 $\alpha$ 衰變，鈾-238 的半衰期是 44.7 億年，但同一條衰變鏈上的釙-214，半衰期只有 164 微秒——兩者相差將近 20 個數量級。
這麼誇張的差異，來自上一篇提到的量子穿隧：$\alpha$ 粒子要穿過的位能障壁，其穿隧機率對 Q 值和障壁寬度極為敏感（Q 值愈大，障壁相對愈「薄」，穿隧愈容易）。經驗上，$\alpha$ 衰變的半衰期與 Q 值之間有一個粗略但很有名的規律——Geiger–Nuttall 定律：Q 值稍微增加一點，半衰期就可能暴跌好幾個數量級。這也是為什麼看起來同一類的衰變（都放出 $\alpha$ 粒子），半衰期卻可以天差地遠：決定半衰期的不是「衰變的種類」，而是每個核種穿隧機率的細節。
例題三：放射性碳定年法
碳-14（上一篇提過的 $\beta^-$ 放射性同位素）的半衰期是 $T_{1/2}=5730$ 年。活的生物體因為持續與大氣交換碳，體內碳-14 的比例維持穩定；生物死亡後不再交換，碳-14 便開始按半衰期衰減。只要測出樣本中碳-14 還剩多少比例，就能反推年代。
假設某古物樣本中碳-14 只剩下原本的 $60\%$，求樣本年代。
先求衰變常數：
\[\lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}=\frac{0.6931}{5730}\approx1.210\times10^{-4}\,\mathrm{yr^{-1}}\]由 $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$，已知 $N(t)/N_0=0.6$：
\[0.6=e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln(1/0.6)}{\lambda}=\frac{0.5108}{1.210\times10^{-4}}\approx4223\ \text{年}\]這個樣本大約是 4200 多年前的產物。這個方法的威力在於：不管起始的碳-14 總量是多少，只要知道剩餘比例，就能算出年代——這正是半衰期「不管起始量多少都一樣」這個性質的直接應用。
常見誤解：半衰期不是「平均壽命」
很多人以為半衰期就是「一顆原子核平均能活多久」，但嚴格說來這是另一個量，叫做平均壽命（mean lifetime）：
\[\tau=\frac1\lambda\]兩者的關係是
\[T_{1/2}=\tau\ln2\approx0.693\,\tau\]半衰期比平均壽命略短一些。日常討論通常用半衰期，但如果你在文獻裡看到 $\tau$，要留意它指的是另一個（數值上稍大的）時間常數。
總結
| 量 | 定義 | 公式 |
|---|---|---|
| 衰變常數 $\lambda$ | 單位時間每顆原子核的衰變機率 | $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$ |
| 半衰期 $T_{1/2}$ | 剩餘量減半所需時間 | $T_{1/2}=\dfrac{\ln2}\lambda$ |
| 平均壽命 $\tau$ | 平均而言一顆原子核能撐多久 | $\tau=\dfrac1\lambda=\dfrac{T_{1/2}}{\ln2}$ |
| 活度 $A$ | 每秒衰變次數，實驗室真正測量的量 | $A=\lambda N$，單位 Bq（或 Ci，$1\,\mathrm{Ci}=3.7\times10^{10}\,\mathrm{Bq}$） |
半衰期讓我們知道「衰變有多快」，但同一個活度數字，換成不同的放射線種類、進入身體不同的部位，造成的生物傷害可以天差地遠——這就是下一篇（④輻射劑量）要處理的問題。
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