可分離變數的微分方程式：從人口模型到放射性衰變

\[\require{physics}\]

某種放射性物質，隨時間減少的速率正比於當前的量。這句話翻譯成數學，就是

\[\dv{u}{t} = -ku, \quad k > 0\]

這是一個常微分方程式（ordinary differential equation，ODE）。要找出 $u(t)$ 的表達式，不能直接積分——因為右側含有未知函數 $u$ 本身。但有一個技巧：把「$u$」和「$t$」分到等號兩側，各積各的。

這就是可分離變數法（separation of variables）。

---

什麼是可分離變數方程式？

一階 ODE 的標準式是 $\dv{y}{x} = f(x, y)$。若右側可以分解為「只含 $x$ 的函數」乘以「只含 $y$ 的函數」：

\[\dv{y}{x} = f(x)\,g(y)\]

則稱此 ODE 可分離變數（separable）。

分離步驟： 假設 $g(y) \neq 0$，把方程式改寫為

\[\frac{1}{g(y)}\,\dd{y} = f(x)\,\dd{x}\]

兩邊各自積分：

\[\int \frac{1}{g(y)}\,\dd{y} = \int f(x)\,\dd{x} + C\]

其中 $C$ 是積分常數，代表一族解。

---

例題一：基本練習

求 $\dv{y}{x} = \dfrac{2y}{x}$ 的通解。

右側 $= \dfrac{2}{x} \cdot y$，可分離。分離：

\[\frac{\dd{y}}{y} = \frac{2\,\dd{x}}{x}\]

積分：

\[\ln\lvert y\rvert = 2\ln\lvert x\rvert + C_1\] \[\lvert y\rvert = e^{C_1} x^2 \implies \boxed{y = Cx^2}\]

其中 $C$ 是任意常數（$C \neq 0$）。驗算： $y’ = 2Cx = \dfrac{2}{x}(Cx^2) = \dfrac{2y}{x}$ ✓

---

初值問題

通解含任意常數 $C$，代表一族曲線。給定初始條件（initial condition）就能唯一確定 $C$，得到特解（particular solution）。

例： 求 $\dv{y}{x} = \dfrac{2y}{x}$，$y(1) = 3$ 的特解。

由通解 $y = Cx^2$，代入初始條件 $y(1) = 3$：$C \cdot 1^2 = 3$，得 $C = 3$。

特解：$y = 3x^2$。

---

例題二：放射性衰變

放射性物質的量 $u(t)$ 滿足

\[\dv{u}{t} = -ku, \quad k > 0, \quad u(0) = u_0\]

分離：$\dfrac{\dd{u}}{u} = -k\,\dd{t}$，積分：$\ln u = -kt + C_1$，整理：

\[\boxed{u(t) = u_0\,e^{-kt}}\]

這是指數衰減（exponential decay）。物理意義：每過 $\frac{\ln 2}{k}$ 時間，量減半（半衰期，half-life）。

\[t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}\]

---

例題三：人口指數成長

若人口 $N(t)$ 的增長率正比於當前人口（資源無限的假設）：

\[\dv{N}{t} = rN, \quad r > 0, \quad N(0) = N_0\]

分離並積分，得

\[\boxed{N(t) = N_0\,e^{rt}}\]

指數成長（exponential growth）。$r$ 稱為增長係數（growth rate）。

現實中，資源有限時人口不能無限成長，需要改用邏輯斯成長模型（logistic growth），這是下一步的延伸。

---

例題四：牛頓冷卻定律

熱的物體放置在較冷的環境中，冷卻速率正比於物體溫度與環境溫度之差：

\[\dv{T}{t} = -k(T - T_\infty), \quad k > 0\]

其中 $T_\infty$ 是環境溫度（常數）。令 $\theta = T - T_\infty$，則

\[\dv{\theta}{t} = -k\theta\]

與放射性衰變形式完全相同，解為

\[\theta(t) = \theta_0\,e^{-kt} \implies T(t) = T_\infty + (T_0 - T_\infty)e^{-kt}\]

應用： 物體冷卻遵循指數收斂，最終趨向環境溫度 $T_\infty$。鑑識科學利用這個模型，從屍體溫度反推死亡時間。

---

奇異解

有時在分離過程中，$g(y) = 0$ 的常數解也是方程式的解，卻不包含在通解的參數族裡，稱為奇異解（singular solution）。

例： $\dv{y}{x} = y^2 - 4$。

通解（分離後積分）為 $y = \dfrac{2 + 2Ce^{4x}}{1 - Ce^{4x}}$，但 $y = -2$ 也是方程式的解（使右側 $= 0$），且無法從通解取任何 $C$ 得到。$y = -2$ 就是奇異解。

---

解題流程總結

確認 dy/dx = f(x) g(y) 的形式
  ↓
分離：1/g(y) dy = f(x) dx
  ↓
兩邊積分：∫1/g(y) dy = ∫f(x) dx + C
  ↓
整理為 y 的顯式或隱式解
  ↓
有初始條件？ → 代入求 C，得特解
另外檢查 g(y) = 0 是否給出奇異解

模型	方程式	解
指數衰減	$u’ = -ku$	$u = u_0 e^{-kt}$
指數成長	$N’ = rN$	$N = N_0 e^{rt}$
牛頓冷卻	$T’ = -k(T-T_\infty)$	指數趨近 $T_\infty$（見上節）

可分離變數法是 ODE 解法中最基本的一類，也是後面 RC 電路、SIR 傳染病模型等應用的數學基礎。