國中和差問題不只是解聯立方程式——從線性代數的換基底，到二體力學解耦、拍頻、駐波、共模差模，同一個代數模式在物理與工程中反覆出現。本文帶你看清這個模式背後的統一邏輯：對稱性拆解。

電容是電路裡的水桶：儲存電荷、記憶電壓。本文用水桶類比建立直覺，推導 q=Cv 與 i=C dv/dt，再從 KVL 一步步推出 RC 電路的指數放電曲線，並解釋時間常數 tau=RC 的物理意義。含充電過程與例題。

電容儲存電場能量、抗拒電壓突變；電感儲存磁場能量、抗拒電流突變——兩者構成電路理論中最漂亮的對偶結構。本文並排比較兩者的動態方程與能量公式，用一張對偶表一次看懂鏡像對稱。

鉛直圓周運動是高中力學的整合考點，同時需要力學能守恆和圓周運動受力分析。本文建立雙線攻法：能量守恆找速度，向心力方程找張力或正向力，推導最高點臨界速率、最低點完成一圈最低速率，並整理三種常見錯誤。

高中物理常把延伸物體的重力位能集中在質心，再用力學能守恆算速度。這道流程有哪裡正確、哪裡不夠完整？本文從剛體動能的完整表式出發，說明位能永遠可以只看質心，但動能必須分成平動項與轉動項，並以均勻細桿繞端點倒下為例，比較完整解與質點近似的差距。

橢圓積分的名稱來自橢圓弧長——計算橢圓周長時自然出現一個無法用初等函數表示的積分，這就是第二類完全橢圓積分 E(k)。本文從弧長公式推導 E(k)，說明它和 K(k) 的關係，並介紹 Legendre 關係式。

拉格朗日力學用位形空間描述運動；哈密頓力學升維到相空間，把動力學變成相空間中的流。本文從 Legendre 變換建立哈密頓量，推導正則方程，並說明哈密頓力學如何自然地給出單擺相圖的幾何結構。

牛頓力學用力向量描述運動；拉格朗日力學改用能量差。本文以單擺為例，介紹廣義坐標的概念，推導歐拉－拉格朗日方程式，並說明為何張力（約束力）在這個框架中自動消失。

相空間把單擺所有可能的運動一次畫出來。本文介紹相平面的坐標、等能量曲線的三種類型（libration、separatrix、rotation），說明 separatrix 的方程式與物理意義，並連結到 K(k) 在 k→1 時的發散行為。

第一類橢圓積分 K(k) 沒有初等函數公式，但可以高效計算。本文介紹兩種方法：冪級數展開（適合小 k）與算術幾何平均（AGM）算法。AGM 每迭代一次有效位數倍增，只需約 10 步即可達到機器精度。